As três componentes do momento, p_{\mathrm{x}}, p_{\mathrm{y}} e p_{\mathrm{z}}, e a energia total E de uma partícula dão quatro grandezas \left(p_{x}, p_{y}, p_{z}, E / c^{2}\right) que se transformam sob a transformação de Lorentz precisamente como o fazem as coordenadas espaço-tempo. Assim
\left\{\begin{array}{l} p_{x}^{\prime}=\gamma\left(p_{x}-v E / c^{2}\right) \\\ p_{y}^{\prime}=p_{y} \\\ p_{z}^{\prime}=p_{z} \\\ \frac{E^{\prime}}{c^{2}}=\gamma\left(\frac{E}{c^{2}}-\frac{v p_{x}}{c^{2}}\right) \end{array}\right.
(a) Demonstre que a grandeza a grandeza E^{2}-p^{2} c^{2} é invariante. Note que p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}. (b) Qual é o valor dessa invariante?

Passo 1

O enunciado fornece as transformações de Lorentz para as componentes do momento e para a energia total de uma partícula (numa transformação com velocidade relativa v ao longo do eixo x):
\left\{\begin{array}{l} p_{x}^{\prime}=\gamma\left(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\right) \\[6pt] p_{y}^{\prime}=p_{y} \\[4pt] p_{z}^{\prime}=p_{z} \\[6pt] \dfrac{E^{\prime}}{c^{2}}=\gamma\left(\dfrac{E}{c^{2}}-\dfrac{v p_{x}}{c^{2}}\right) \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Demonstrar que a quantidade \;E^{2}-p^{2}c^{2}\; é invariante, isto é, que \;E'^{2}-p'^{2}c^{2}=E^{2}-p^{2}c^{2}\;. Aqui \;p^{2}=p_x^{2}+p_y^{2}+p_z^{2}\;.
(b) Determinar o valor numérico dessa invariante (em termos de grandezas físicas como massa de repouso, se for o caso).]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): a maneira mais direta é calcular explicitamente \;E'^{2}-c^{2}p'^{2}\; usando as fórmulas dadas e mostrar por manipulação algébrica que isso é igual a \;E^{2}-c^{2}p^{2}\;. Vou substituir E' e p_x' nas expressões, expandir, simplificar e usar a identidade clássica de Lorentz para \gamma:
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},\qquad\text{portanto}\qquad \gamma^{2}\!\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=1.

Passo 3

Primeiro escrevo explicitamente E' a partir da relação dada. Multiplicando a última igualdade por c^{2} obtenho:
E'=\gamma\bigl(E - v p_{x}\bigr).
Reescrevo também p_{x}' (já dada):
p_{x}'=\gamma\left(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\right).
Lembro que p_{y}'=p_{y} e p_{z}'=p_{z}. Portanto
p'^{2}=p_{x}'^{2}+p_{y}'^{2}+p_{z}'^{2} =\gamma^{2}\!\left(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\right)^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.

Passo 4

Agora escrevo a diferença que queremos comparar:
E'^{2}-c^{2}p'^{2} =\gamma^{2}\bigl(E - v p_{x}\bigr)^{2} -c^{2}\left[\gamma^{2}\!\left(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\right)^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right].
Agrupo os termos com \gamma^{2} e os demais:
E'^{2}-c^{2}p'^{2} =\gamma^{2}\Bigl[\bigl(E - v p_{x}\bigr)^{2} - c^{2}\bigl(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\bigr)^{2}\Bigr] - c^{2}\bigl(p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\bigr).

Passo 5

Vou desenvolver as duas expressões ao dentro dos colchetes, com calma e passo a passo.
Primeiro:
\bigl(E - v p_{x}\bigr)^{2}=E^{2}-2vEp_{x}+v^{2}p_{x}^{2}.
Segundo:
\bigl(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\bigr)^{2}=p_{x}^{2}-2\dfrac{vE p_{x}}{c^{2}}+\dfrac{v^{2}E^{2}}{c^{4}}.
Multiplicando este último por c^{2} (porque aparece com fator -c^{2} no colchete):
c^{2}\bigl(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\bigr)^{2} =c^{2}p_{x}^{2}-2vE p_{x}+\dfrac{v^{2}E^{2}}{c^{2}}.
Agora subtraio as duas expressões (a primeira menos a segunda):
\begin{aligned} \bigl(E - v p_{x}\bigr)^{2} &- c^{2}\bigl(p_{x}-\dfrac{vE}{c^{2}}\bigr)^{2} \\\ &= \bigl(E^{2}-2vEp_{x}+v^{2}p_{x}^{2}\bigr) - \bigl(c^{2}p_{x}^{2}-2vEp_{x}+\dfrac{v^{2}E^{2}}{c^{2}}\bigr). \end{aligned}
Observe que os termos -2vEp_{x} e +2vEp_{x} se cancelam. Ficamos com:
=E^{2}-c^{2}p_{x}^{2}+v^{2}p_{x}^{2}-\dfrac{v^{2}E^{2}}{c^{2}}.
Agrupando em fatores convenientes:
=E^{2}\!\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)-c^{2}p_{x}^{2}\!\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right).
Fatorando \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right):
=\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)\bigl(E^{2}-c^{2}p_{x}^{2}\bigr).

Passo 6

Volto à expressão do Passo 4, que tem o fator \gamma^{2} multiplicando o colchete. Substituindo o resultado do Passo 5:
E'^{2}-c^{2}p'^{2} =\gamma^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)\bigl(E^{2}-c^{2}p_{x}^{2}\bigr) - c^{2}\bigl(p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\bigr).
Agora uso a identidade da Lorentz para \gamma:
\gamma^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=1.
Portanto
E'^{2}-c^{2}p'^{2}=\bigl(E^{2}-c^{2}p_{x}^{2}\bigr)-c^{2}\bigl(p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\bigr).
Somando os termos com p_x^{2},p_y^{2},p_z^{2}:
E'^{2}-c^{2}p'^{2}=E^{2}-c^{2}\bigl(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\bigr) =E^{2}-c^{2}p^{2}.

Passo 7

Concluímos a prova da invariância: para qualquer transformação de Lorentz na direção x (e por extensão em qualquer direção), vale
E'^{2}-c^{2}p'^{2}=E^{2}-c^{2}p^{2},
ou seja, \;E^{2}-p^{2}c^{2}\; é invariante.

Passo 8

Agora a parte (b): determinar o valor dessa invariante. A maneira mais simples é avaliar essa quantidade no referencial de repouso da partícula (o referencial em que a partícula está parada). No repouso:
\vec p=\vec 0 \quad\Rightarrow\quad p^{2}=0,
e a energia total no repouso é a energia de repouso, que definimos por
E_{\text{repouso}}=m c^{2},
onde \;m\; é a massa de repouso da partícula. Assim, avaliando a invariante no repouso:
E^{2}-c^{2}p^{2} = E_{\text{repouso}}^{2}-0 = (m c^{2})^{2}=m^{2}c^{4}.
Como a quantidade é invariante, esse valor é o mesmo em qualquer referencial. Portanto sempre vale
E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}.
Dessa identidade segue também a forma útil
E^{2}=c^{2}p^{2}+m^{2}c^{4},
que descreve a relação energia-momento relativística. Notas rápidas e úteis: para partículas de massa nula (por exemplo fótons) temos m=0 e então E^{2}=c^{2}p^{2}, ou E=cp.

Resposta

E'^{2}-c^{2}p'^{2}=E^{2}-c^{2}p^{2} \
E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}

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