As três componentes do momento, p_{\mathrm{x}}, p_{\mathrm{y}} e p_{\mathrm{z}}, e a energia total E de uma partícula dão quatro grandezas \left(p_{x}, p_{y}, p_{z}, E / c^{2}\right) que se transformam sob a transformação de Lorentz precisamente como o fazem as coordenadas espaço-tempo. Assim
(a) Demonstre que a grandeza a grandeza E^{2}-p^{2} c^{2} é invariante. Note que p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}. (b) Qual é o valor dessa invariante?
Passo 1
O enunciado fornece as transformações de Lorentz para as componentes do momento e para a energia total de uma partícula (numa transformação com velocidade relativa v ao longo do eixo x):
As perguntas são:
(a) Demonstrar que a quantidade \;E^{2}-p^{2}c^{2}\; é invariante, isto é, que \;E'^{2}-p'^{2}c^{2}=E^{2}-p^{2}c^{2}\;. Aqui \;p^{2}=p_x^{2}+p_y^{2}+p_z^{2}\;.
(b) Determinar o valor numérico dessa invariante (em termos de grandezas físicas como massa de repouso, se for o caso).]
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): a maneira mais direta é calcular explicitamente \;E'^{2}-c^{2}p'^{2}\; usando as fórmulas dadas e mostrar por manipulação algébrica que isso é igual a \;E^{2}-c^{2}p^{2}\;. Vou substituir E' e p_x' nas expressões, expandir, simplificar e usar a identidade clássica de Lorentz para \gamma:
Concluímos a prova da invariância: para qualquer transformação de Lorentz na direção x (e por extensão em qualquer direção), vale
E'^{2}-c^{2}p'^{2}=E^{2}-c^{2}p^{2},
ou seja, \;E^{2}-p^{2}c^{2}\; é invariante.
Passo 8
Agora a parte (b): determinar o valor dessa invariante. A maneira mais simples é avaliar essa quantidade no referencial de repouso da partícula (o referencial em que a partícula está parada). No repouso:
\vec p=\vec 0 \quad\Rightarrow\quad p^{2}=0,
e a energia total no repouso é a energia de repouso, que definimos por
E_{\text{repouso}}=m c^{2},
onde \;m\; é a massa de repouso da partícula. Assim, avaliando a invariante no repouso:
Como a quantidade é invariante, esse valor é o mesmo em qualquer referencial. Portanto sempre vale
E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}.
Dessa identidade segue também a forma útil
E^{2}=c^{2}p^{2}+m^{2}c^{4},
que descreve a relação energia-momento relativística. Notas rápidas e úteis: para partículas de massa nula (por exemplo fótons) temos m=0 e então E^{2}=c^{2}p^{2}, ou E=cp.