Na dinâmica relativística de uma partícula, a segunda lê de Newton se escreve na forma
, onde
é a força resultante que atua sobre a partícula e
,
. Demonstre que a segunda lei de Newton, escrita em termos da aceleração
, é dada em geral por:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, na dinâmica relativística com momento linear
e
, a segunda lei de Newton escrita em termos da aceleração
fica
Informações dadas (resumindo):
Não há informações adicionais ou figura; a demonstração deve partir da expressão de
e diferenciar no tempo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: aplicar a regra do produto para derivar
. A regra do produto para funções vetoriais diz que
Aqui
é a aceleração. Portanto, usando
e
constante,
Agora precisamos calcular
.
Passo 3
Vamos derivar
no tempo usando a regra da cadeia. Definimos
de modo que
. Então
Precisamos de
. Como
, temos
Passo 4
Calcular
(aqui
, produto escalar). A regra de derivação do produto escalar dá
Portanto
Passo 5
Substituímos
em
. Lembrando
,
Reconhecendo
, obtemos a forma elegante
Também podemos escrever isso como
pois
.
Passo 6
Agora voltamos à expressão de
do Passo 2 e substituímos
. Tínhamos
Inserindo
,
Passo 7
Agora escrevemos explicitamente
e
em termos de
. Como
e
, a expressão fica
Essa é exatamente a forma pedida no enunciado.
Passo 8
Comentário didático curto para você memorizar na hora da prova: a origem do segundo termo é a dependência de
com a velocidade — quando
depende de
, ao diferenciar
aparece um termo paralelo a
proporcional a
. Dois casos úteis para enfiar na cabeça:
Esses são bons checks rápidos em problemas.