Na dinâmica relativística de uma partícula, a segunda lê de Newton se escreve na forma \vec{F}=d \vec{p} / d t, onde \vec{F} é a força resultante que atua sobre a partícula e \vec{p}=\gamma m \overrightarrow{\mathrm{v}}, \operatorname{com} \gamma=1 / \sqrt{1-\mathrm{v}^{2} / c^{2}}. Demonstre que a segunda lei de Newton, escrita em termos da aceleração \vec{a}, é dada em geral por:
\vec{F}=\frac{m \vec{a}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}+\frac{m \overrightarrow{\mathrm{v}}(\overrightarrow{\mathrm{v}} \cdot \vec{a})}{c^{2}\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, na dinâmica relativística com momento linear \vec{p}=\gamma m \vec{v} e \gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}, a segunda lei de Newton escrita em termos da aceleração \vec{a} fica
\vec{F}=\frac{m \vec{a}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}+\frac{m \vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{a})}{c^{2}\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3/2}}.
Informações dadas (resumindo):
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},\qquad \vec{p}=\gamma m \vec{v},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Não há informações adicionais ou figura; a demonstração deve partir da expressão de \vec{p} e diferenciar no tempo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: aplicar a regra do produto para derivar \vec{p}=\gamma m\vec{v}. A regra do produto para funções vetoriais diz que
\frac{d}{dt}(\gamma \vec{v})=\gamma\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{d\gamma}{dt}.
Aqui \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt} é a aceleração. Portanto, usando \vec{F}=d\vec{p}/dt e m constante,
\vec{F}=m\frac{d}{dt}(\gamma\vec{v})=m\Big(\gamma\vec{a}+\vec{v}\,\frac{d\gamma}{dt}\Big).
Agora precisamos calcular \dfrac{d\gamma}{dt}.

Passo 3

Vamos derivar \gamma no tempo usando a regra da cadeia. Definimos u=1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} de modo que \gamma=u^{-1/2}. Então
\frac{d\gamma}{dt}=\frac{d}{dt}\big(u^{-1/2}\big) = -\tfrac{1}{2}u^{-3/2}\frac{du}{dt}.
Precisamos de \dfrac{du}{dt}. Como u=1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}, temos
\frac{du}{dt}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{d}{dt}(v^{2}).

Passo 4

Calcular \dfrac{d}{dt}(v^{2}) (aqui v^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}, produto escalar). A regra de derivação do produto escalar dá
\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=2\,\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}=2\,\vec{v}\cdot\vec{a}.
Portanto
\frac{du}{dt}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot 2\,\vec{v}\cdot\vec{a}=-\frac{2\,\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}}.

Passo 5

Substituímos \dfrac{du}{dt} em \dfrac{d\gamma}{dt}. Lembrando u=(1-v^{2}/c^{2}),
\frac{d\gamma}{dt}=-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}\left(-\frac{2\,\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\right) = u^{-3/2}\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}}.
Reconhecendo u^{-3/2}=(1-v^{2}/c^{2})^{-3/2}, obtemos a forma elegante
\frac{d\gamma}{dt}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\,(1-v^{2}/c^{2})^{-3/2}.
Também podemos escrever isso como
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}},
pois \gamma^{3}=(1-v^{2}/c^{2})^{-3/2}.

Passo 6

Agora voltamos à expressão de \vec{F} do Passo 2 e substituímos \dfrac{d\gamma}{dt}. Tínhamos
\vec{F}=m\Big(\gamma\vec{a}+\vec{v}\,\frac{d\gamma}{dt}\Big).
Inserindo \dfrac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}},
\vec{F}=m\Big(\gamma\vec{a}+\vec{v}\,\gamma^{3}\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\Big).

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente \gamma e \gamma^{3} em termos de v^{2}/c^{2}. Como \gamma=(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2} e \gamma^{3}=(1-v^{2}/c^{2})^{-3/2}, a expressão fica
\vec{F}=m\frac{\vec{a}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}+m\frac{\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{a})}{c^{2}\,(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}.
Essa é exatamente a forma pedida no enunciado.

Passo 8

Comentário didático curto para você memorizar na hora da prova: a origem do segundo termo é a dependência de \gamma com a velocidade — quando \gamma depende de v, ao diferenciar \gamma\vec{v} aparece um termo paralelo a \vec{v} proporcional a \vec{v}\cdot\vec{a}. Dois casos úteis para enfiar na cabeça:
\text{se }\vec{a}\perp\vec{v}\\ (\vec{v}\cdot\vec{a}=0)\Rightarrow \vec{F}=m\gamma\vec{a},
\text{se }\vec{a}\parallel\vec{v}\\ (\vec{a}=a\hat{v})\Rightarrow \vec{F}=m\gamma^{3}\vec{a}.
Esses são bons checks rápidos em problemas.

Resposta

\vec{F}=\frac{m \vec{a}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}+\frac{m \vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{a})}{c^{2}\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3/2}}

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