Em dias muito frios a chance de os funcionários de uma indústria faltarem ao trabalho é de 0,06 . Já em dias normais, ela é igual a 0,01 . Em 1 / 5 dos dias faz muito frio.
(a) Qual é a probabilidade de 1 funcionário não ter faltado em um dia qualquer?
(b) Dado que um funcionário faltou qual a probabilidade de ele ter faltado em um dia frio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
Probabilidade de faltar em dia muito frio: \,P(F\mid C)=0,06.
Probabilidade de faltar em dia normal: \,P(F\mid N)=0,01.
Fração dos dias que são muito frios: \,P\text{(C)}=\tfrac{1}{5}=0,2.
Logo, P(N)=1-P\text{(C)}=0,8.
Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de 1 funcionário não ter faltado em um dia qualquer? (ou seja, P(\text{não }F)).
(b) Dado que um funcionário faltou, qual a probabilidade de ele ter faltado em um dia frio? (ou seja, P(C\mid F)).
Passo 2
Vamos definir os eventos de forma clara e simples:
Primeiro precisamos da probabilidade total de faltar em um dia qualquer, P(F). Vou explicar a fórmula que usamos: a Lei da Probabilidade Total diz que, se os dias se dividem em C e N (eventos mutuamente exclusivos e exaustivos), então
P(F)=P(F\mid C)P\text{(C)}+P(F\mid N)P(N).
A ideia intuitiva: a chance de faltar num dia qualquer é a soma das chances de faltar em dia frio multiplicada pela probabilidade de ser dia frio, mais a mesma coisa para dia normal.
Agora respondemos a parte (a). A probabilidade de um funcionário não ter faltado é
P(\overline{F})=1-P(F)=1-0,02=0,98.
Explicando em palavras: só há 2% de chance de faltar num dia qualquer, então há 98% de chance de não faltar.
Passo 6
Para a parte (b) precisamos da probabilidade condicional inversa P(C\mid F). Vou apresentar a fórmula de Bayes (explicando o que cada termo significa):
P(C\mid F)=\frac{P(F\mid C)\,P\text{(C)}}{P(F)}.
Interpretação: entre todas as faltas que ocorrem, a fração que aconteceu em dias frios é a probabilidade de faltar em dia frio vezes a probabilidade do dia ser frio, tudo dividido pela probabilidade total de faltar.
Passo 7
Aplicar a fórmula de Bayes com os números que já calculamos:
Interpretação intuitiva (curto e animador): apesar de só 20% dos dias serem frios, a chance de faltar é muito maior nesses dias (0,06 contra 0,01), então, condicionando ao fato de que alguém faltou, a maioria dessas faltas (60\%) ocorreu em dias frios.