Em dias muito frios a chance de os funcionários de uma indústria faltarem ao trabalho é de 0,06 . Já em dias normais, ela é igual a 0,01 . Em 1 / 5 dos dias faz muito frio.
(a) Qual é a probabilidade de 1 funcionário não ter faltado em um dia qualquer?
(b) Dado que um funcionário faltou qual a probabilidade de ele ter faltado em um dia frio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • Dados:
    • Probabilidade de faltar em dia muito frio: \,P(F\mid C)=0,06.
    • Probabilidade de faltar em dia normal: \,P(F\mid N)=0,01.
    • Fração dos dias que são muito frios: \,P\text{(C)}=\tfrac{1}{5}=0,2.
    • Logo, P(N)=1-P\text{(C)}=0,8.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a probabilidade de 1 funcionário não ter faltado em um dia qualquer? (ou seja, P(\text{não }F)ã).
    • (b) Dado que um funcionário faltou, qual a probabilidade de ele ter faltado em um dia frio? (ou seja, P(C\mid F)).

Passo 2

Vamos definir os eventos de forma clara e simples:
  • C: o dia é frio.
  • N: o dia é normal (não frio).
  • F: o funcionário faltou.
  • \overline{F}: o funcionário não faltou.
Anotar as probabilidades conhecidas em notação:
P\text{(C)}=0,2,\quad P(N)=0,8,\quad P(F\mid C)=0,06,\quad P(F\mid N)=0,01.

Passo 3

Primeiro precisamos da probabilidade total de faltar em um dia qualquer, P(F). Vou explicar a fórmula que usamos: a Lei da Probabilidade Total diz que, se os dias se dividem em C e N (eventos mutuamente exclusivos e exaustivos), então
P(F)=P(F\mid C)P\text{(C)}+P(F\mid N)P(N).
A ideia intuitiva: a chance de faltar num dia qualquer é a soma das chances de faltar em dia frio multiplicada pela probabilidade de ser dia frio, mais a mesma coisa para dia normal.

Passo 4

Calcular P(F) usando os números dados:
P(F)=0,06\cdot 0,2 + 0,01\cdot 0,8.
Fazendo as contas passo a passo:
0,06\cdot 0,2 = 0,012, \qquad 0,01\cdot 0,8 = 0,008.
Portanto
P(F)=0,012+0,008=0,02.

Passo 5

Agora respondemos a parte (a). A probabilidade de um funcionário não ter faltado é
P(\overline{F})=1-P(F)=1-0,02=0,98.
Explicando em palavras: só há 2% de chance de faltar num dia qualquer, então há 98% de chance de não faltar.

Passo 6

Para a parte (b) precisamos da probabilidade condicional inversa P(C\mid F). Vou apresentar a fórmula de Bayes (explicando o que cada termo significa):
P(C\mid F)=\frac{P(F\mid C)\,P\text{(C)}}{P(F)}.
Interpretação: entre todas as faltas que ocorrem, a fração que aconteceu em dias frios é a probabilidade de faltar em dia frio vezes a probabilidade do dia ser frio, tudo dividido pela probabilidade total de faltar.

Passo 7

Aplicar a fórmula de Bayes com os números que já calculamos:
P(C\mid F)=\frac{0,06\cdot 0,2}{0,02}=\frac{0,012}{0,02}.
Fazendo a divisão:
\frac{0,012}{0,02}=0,6.

Passo 8

Interpretação intuitiva (curto e animador): apesar de só 20% dos dias serem frios, a chance de faltar é muito maior nesses dias (0,06 contra 0,01), então, condicionando ao fato de que alguém faltou, a maioria dessas faltas ( 60\%) ocorreu em dias frios.

Resposta

(a) 0,98
(b) 0,6

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