Estima-se que
de todo o rebanho de gado bovino da Fazenda Boi-Bumbá é tratado com vacina contra uma doença grave. A probabilidade de um animal ficar curado dessa doença é de 1 em 30 , caso não haja tratamento, e 1 em 2 , havendo tratamento. Se uma vaca portadora dessa doença ficar curada, qual é a probabilidade de ela ter tomado a vacina preventiva?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
- A proporção de bovinos vacinados é
. - A probabilidade de um animal ficar curado se não for tratado é
em . - A probabilidade de um animal ficar curado se tiver sido tratado (vacinado) é
em .
A pergunta: se uma vaca portadora da doença ficou curada, qual é a probabilidade de ela ter tomado a vacina preventiva?
Passo 2
Vamos traduzir cada dado em probabilidades e definir variáveis (assim fica mais fácil e aplicável em prova):
- Seja
o evento “a vaca foi vacinada” e o evento “a vaca não foi vacinada”. - Seja
o evento “a vaca ficou curada”.
Agora escrevemos as probabilidades dadas:
Passo 3
O que queremos é
: a probabilidade de ter sido vacinada dado que ficou curada. A fórmula que usamos (fórmula de Bayes) é:
Aqui
é a probabilidade total de ficar curada, que podemos obter somando as contribuições dos dois grupos (vacinados e não vacinados) — isso vem da regra da probabilidade total:
Passo 4
Calcular
com os valores que temos:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Passo 5
Agora calculamos
usando Bayes:
Já vimos que o numerador é
. Então
Passo 6
Interpretação intuitiva e checagem com números concretos (truque útil para prova): suponha uma amostra de
vacas (escolhi
porque é múltiplo de
e
):
- Vacinadas:
. Dessas, se curam → curadas. - Não vacinadas:
. Dessas, se cura → curada.
Total de curadas =. Dessas , eram vacinadas. Logo a probabilidade buscada é , consistente com o cálculo anterior.
Passo 7
Conclusão numérica e em porcentagem (útil para prova e para resposta rápida):