Estima-se que 80 \% de todo o rebanho de gado bovino da Fazenda Boi-Bumbá é tratado com vacina contra uma doença grave. A probabilidade de um animal ficar curado dessa doença é de 1 em 30 , caso não haja tratamento, e 1 em 2 , havendo tratamento. Se uma vaca portadora dessa doença ficar curada, qual é a probabilidade de ela ter tomado a vacina preventiva?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
  • A proporção de bovinos vacinados é 80\%.
  • A probabilidade de um animal ficar curado se não for tratado é 1 em 30.
  • A probabilidade de um animal ficar curado se tiver sido tratado (vacinado) é 1 em 2.
    A pergunta: se uma vaca portadora da doença ficou curada, qual é a probabilidade de ela ter tomado a vacina preventiva?

Passo 2

Vamos traduzir cada dado em probabilidades e definir variáveis (assim fica mais fácil e aplicável em prova):
  • Seja V o evento “a vaca foi vacinada” e V^c o evento “a vaca não foi vacinada”.
  • Seja R o evento “a vaca ficou curada”.
Agora escrevemos as probabilidades dadas:
P(V)=0{,}80=\frac{4}{5},\qquad P(V^c)=0{,}20=\frac{1}{5}.
P(R\mid V)=\frac{1}{2},\qquad P(R\mid V^c)=\frac{1}{30}.

Passo 3

O que queremos é P(V\mid R): a probabilidade de ter sido vacinada dado que ficou curada. A fórmula que usamos (fórmula de Bayes) é:
P(V\mid R)=\frac{P(R\mid V)\,P(V)}{P(R)}.
Aqui P(R) é a probabilidade total de ficar curada, que podemos obter somando as contribuições dos dois grupos (vacinados e não vacinados) — isso vem da regra da probabilidade total:
P(R)=P(R\mid V)\,P(V)+P(R\mid V^c)\,P(V^c).

Passo 4

Calcular P(R) com os valores que temos:
P(R)=\left(\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{1}{30}\right)\!\left(\frac{1}{5}\right).
Fazendo as multiplicações:
\left(\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=\frac{60}{150},
\left(\frac{1}{30}\right)\!\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{150}.
Somando:
P(R)=\frac{60}{150}+\frac{1}{150}=\frac{61}{150}.

Passo 5

Agora calculamos P(V\mid R) usando Bayes:
P(V\mid R)=\frac{P(R\mid V)\,P(V)}{P(R)}=\frac{\left(\dfrac{1}{2}\right)\!\left(\dfrac{4}{5}\right)}{\dfrac{61}{150}}.
Já vimos que o numerador é \dfrac{60}{150}. Então
P(V\mid R)=\frac{\dfrac{60}{150}}{\dfrac{61}{150}}=\frac{60}{61}.

Passo 6

Interpretação intuitiva e checagem com números concretos (truque útil para prova): suponha uma amostra de 150 vacas (escolhi 150 porque é múltiplo de 5 e 30):
  • Vacinadas: 0{,}8\times150=120. Dessas, 1/2 se curam → 120\times\frac{1}{2}=60 curadas.
  • Não vacinadas: 0{,}2\times150=30. Dessas, 1/30 se cura → 30\times\frac{1}{30}=1 curada.
    Total de curadas = 60+1=61. Dessas 61, 60 eram vacinadas. Logo a probabilidade buscada é 60/61, consistente com o cálculo anterior.

Passo 7

Conclusão numérica e em porcentagem (útil para prova e para resposta rápida):
P(V\mid R)=\frac{60}{61}\approx0{,}9836\quad\text{(ou }98{,}36\%\text{)}.

Resposta

\dfrac{60}{61}\approx0{,}9836

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