O Sr. Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um ônibus ou o metrô com probabilidades de 0,2 e 0,8 , nessa ordem. Quando toma um ônibus, chega atrasado 30 \% das vezes. Quando toma o metrô, atrasa-se 20 \% dos dias. Se o Sr. Ray Moon Dee chegar atrasado ao trabalho em determinado dia, qual a probabilidade de ele ter tomado um ônibus?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
  • Probabilidades de escolha do transporte:
    • Probabilidade de o Sr. Ray Moon Dee tomar ônibus: P(B)=0,2.
    • Probabilidade de ele tomar metrô: P(M)=0,8.
  • Probabilidades de chegar atrasado condicionadas ao transporte:
    • Se tomou ônibus, atrasa-se em 30\%: P(A\mid B)=0,3.
    • Se tomou metrô, atrasa-se em 20\%: P(A\mid M)=0,2.
  • Pergunta do enunciado: Se o Sr. Ray Moon Dee chegou atrasado num dia (evento A), qual a probabilidade de ele ter tomado um ônibus? Ou seja, calcular P(B\mid A).

Passo 2

Definir eventos e o que cada símbolo significa (para não nos perder):
  • B = evento “tomou ônibus”.
  • M = evento “tomou metrô”.
  • A = evento “chegou atrasado”.
    As probabilidades conhecidas são:
P(B)=0,2,\qquad P(M)=0,8,\qquad P(A\mid B)=0,3,\qquad P(A\mid M)=0,2.

Passo 3

Explicar a ideia usada: queremos P(B\mid A). Existe uma fórmula básica da probabilidade condicional que nos dá:
P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}.
Aqui P(B\cap A) é a probabilidade de “ter tomado ônibus e ter chegado atrasado”. Pelo conceito de probabilidade condicional, essa probabilidade conjunta é
P(B\cap A)=P(B)\,P(A\mid B).
Do mesmo modo, a probabilidade de “tomar metrô e chegar atrasado” é
P(M\cap A)=P(M)\,P(A\mid M).

Passo 4

Calcular P(B\cap A) e P(M\cap A) com os números dados:
P(B\cap A)=P(B)\,P(A\mid B)=0,2\cdot0,3=0,06,
P(M\cap A)=P(M)\,P(A\mid M)=0,8\cdot0,2=0,16.
Explicação curta: multiplicou-se a probabilidade de escolher o transporte pela probabilidade de atraso dado aquele transporte.

Passo 5

Calcular P(A) (probabilidade total de chegar atrasado) usando a Lei da Probabilidade Total:
P(A)=P(B\cap A)+P(M\cap A).
Substituindo os valores que acabamos de achar:
P(A)=0,06+0,16=0,22.
Intuição: em qualquer dia, a chance de chegar atrasado vem das duas maneiras possíveis (ônibus ou metrô); somamos as probabilidades conjuntas.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de Bayes (a expressão de passo 3) para obter P(B\mid A):
P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{0,06}{0,22}.
Simplificando a fração:
\frac{0,06}{0,22}=\frac{6}{22}=\frac{3}{11}.

Passo 7

Verificação intuitiva por contagem (método prático que ajuda a entender): suponha 100 dias de observação.
  • Em 100 dias, em média 100\cdot0,2=20 dias ele toma ônibus; destes, 20\cdot0,3=6 dias chega atrasado pelo ônibus.
  • Em 100 dias, em média 100\cdot0,8=80 dias ele toma metrô; destes, 80\cdot0,2=16 dias chega atrasado pelo metrô.
  • Total de dias atrasado = 6+16=22. Então a fração dos atrasos vindos do ônibus é 6/22=3/11, que confere com o cálculo anterior.

Resposta

\dfrac{3}{11}\approx0,2727

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