O Sr. Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um ônibus ou o metrô com probabilidades de 0,2 e 0,8 , nessa ordem. Quando toma um ônibus, chega atrasado
das vezes. Quando toma o metrô, atrasa-se
dos dias. Se o Sr. Ray Moon Dee chegar atrasado ao trabalho em determinado dia, qual a probabilidade de ele ter tomado um ônibus?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
- Probabilidades de escolha do transporte:
- Probabilidade de o Sr. Ray Moon Dee tomar ônibus:
. - Probabilidade de ele tomar metrô:
.
- Probabilidade de o Sr. Ray Moon Dee tomar ônibus:
- Probabilidades de chegar atrasado condicionadas ao transporte:
- Se tomou ônibus, atrasa-se em
: . - Se tomou metrô, atrasa-se em
: .
- Se tomou ônibus, atrasa-se em
- Pergunta do enunciado: Se o Sr. Ray Moon Dee chegou atrasado num dia (evento
), qual a probabilidade de ele ter tomado um ônibus? Ou seja, calcular .
Passo 2
Definir eventos e o que cada símbolo significa (para não nos perder):
-
= evento “tomou ônibus”. -
= evento “tomou metrô”. -
= evento “chegou atrasado”.
As probabilidades conhecidas são:
Passo 3
Explicar a ideia usada: queremos
. Existe uma fórmula básica da probabilidade condicional que nos dá:
Aqui
é a probabilidade de “ter tomado ônibus e ter chegado atrasado”. Pelo conceito de probabilidade condicional, essa probabilidade conjunta é
Do mesmo modo, a probabilidade de “tomar metrô e chegar atrasado” é
Passo 4
Calcular
e
com os números dados:
Explicação curta: multiplicou-se a probabilidade de escolher o transporte pela probabilidade de atraso dado aquele transporte.
Passo 5
Calcular
(probabilidade total de chegar atrasado) usando a Lei da Probabilidade Total:
Substituindo os valores que acabamos de achar:
Intuição: em qualquer dia, a chance de chegar atrasado vem das duas maneiras possíveis (ônibus ou metrô); somamos as probabilidades conjuntas.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula de Bayes (a expressão de passo 3) para obter
:
Simplificando a fração:
Passo 7
Verificação intuitiva por contagem (método prático que ajuda a entender): suponha 100 dias de observação.
- Em 100 dias, em média
dias ele toma ônibus; destes, dias chega atrasado pelo ônibus. - Em 100 dias, em média
dias ele toma metrô; destes, dias chega atrasado pelo metrô. - Total de dias atrasado =
. Então a fração dos atrasos vindos do ônibus é , que confere com o cálculo anterior.