(Dielétrico e Lei de Gauss) Duas regiões com permissividades \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} são separadas por um plano z=0. Sabendo que o campo elétrico incidente forma um ângulo \theta_{1} com a normal, use o Teorema da Divergência e as condições de contorno para deduzir a relação entre \theta_{1} e \theta_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas regiões dielétricas separadas pelo plano z=0. A região z>0 tem permissividade \varepsilon_{1} e a região z<0 tem permissividade \varepsilon_{2}. Um campo elétrico incidente na interface forma um ângulo \theta_{1} com a normal (a normal é a direção z). Na região transmitida o campo forma um ângulo \theta_{2} com a mesma normal.
Dados relevantes (assunções que usarei porque o enunciado não as explicitou): não existe carga de superfície livre na interface (isto é, \sigma_{\text{livre}}=0) e os campos são eletrostáticos (portanto \nabla\times\mathbf{E}=0). O objetivo é deduzir a relação entre \theta_{1} e \theta_{2} usando o Teorema da Divergência (Lei de Gauss) e as condições de contorno.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a forma integral da Lei de Gauss para o campo deslocamento \mathbf{D}:
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\,dV=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{livre,\,enc.}}.
Isto é o Teorema da Divergência aplicado a \mathbf{D}. Vou usá-lo para obter a condição de contorno para a componente normal de \mathbf{D} na interface.

Passo 3

Escolhemos um “pillbox” (um cilindro bem achatado) atravessando a interface, com área da base A paralela ao plano z=0 e altura h muito pequena, metade em cada região. Aplicando a Lei de Gauss ao volume do pillbox temos: fluxo total = carga livre contida. As faces superior e inferior têm áreas A e normais opostas; as faces laterais têm área proporcional a h e, ao fazer h\to0, a contribuição lateral é desprezível. Assim,
\mathbf{D}_{1}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,A - \mathbf{D}_{2}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,A = \sigma_{\text{livre}}\,A,
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor normal (apontando, digamos, para z>0). Cancelando A,
\mathbf{D}_{1}\cdot\hat{\mathbf{n}} - \mathbf{D}_{2}\cdot\hat{\mathbf{n}}=\sigma_{\text{livre}}.
Com \sigma_{\text{livre}}=0 isto dá a continuidade da componente normal de \mathbf{D}:
\mathbf{D}_{1}\cdot\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{D}_{2}\cdot\hat{\mathbf{n}}.

Passo 4

Como \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} em meios lineares homogêneos, a condição anterior vira, em termos das magnitudes das componentes normais,
\varepsilon_{1}E_{1,\perp}=\varepsilon_{2}E_{2,\perp},
onde E_{1,\perp} e E_{2,\perp} são as componentes de \mathbf{E} normais à interface nas regiões 1 e 2, respectivamente.

Passo 5

Agora obtemos a condição para a componente tangencial de \mathbf{E}. Em regime eletrostático \nabla\times\mathbf{E}=0. A forma integral desta equação (Teorema de Stokes) aplicada a um retângulo muito fino que cruza a interface implica que a integral de linha de \mathbf{E} ao redor do laço é zero. Tomando a largura do retângulo ao longo da direção tangencial igual a L e a altura h\to0 na direção normal, as contribuições das arestas normais vão a zero e resta
E_{1,\parallel}\,L - E_{2,\parallel}\,L = 0,
ou seja
E_{1,\parallel}=E_{2,\parallel}.
Portanto a componente tangencial de \mathbf{E} é contínua na interface.

Passo 6

Agora expressemos as componentes normal e tangencial em função dos módulos dos campos e dos ângulos dados. Como o ângulo \theta é medido em relação à normal, para cada região:
E_{\perp}=E\cos\theta,\qquad E_{\parallel}=E\sin\theta.
Substituindo nas condições de contorno temos duas equações:
\varepsilon_{1}E_{1}\cos\theta_{1}=\varepsilon_{2}E_{2}\cos\theta_{2}
(pela continuidade de \mathbf{D}_{\perp}) e
E_{1}\sin\theta_{1}=E_{2}\sin\theta_{2}
(pela continuidade de \mathbf{E}_{\parallel}).

Passo 7

Eliminamos E_{1} e E_{2} para achar relação entre \theta_{1} e \theta_{2}. Dividindo a segunda equação pela primeira (isto é, \dfrac{E_{1}\sin\theta_{1}}{\varepsilon_{1}E_{1}\cos\theta_{1}}=\dfrac{E_{2}\sin\theta_{2}}{\varepsilon_{2}E_{2}\cos\theta_{2}}) obtemos
\frac{\tan\theta_{1}}{\varepsilon_{1}}=\frac{\tan\theta_{2}}{\varepsilon_{2}}.
Multiplicando em cruz, uma forma equivalente é
\varepsilon_{2}\tan\theta_{1}=\varepsilon_{1}\tan\theta_{2}.

Resposta

\frac{\tan\theta_{1}}{\varepsilon_{1}}=\frac{\tan\theta_{2}}{\varepsilon_{2}}

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