(Dielétrico e Lei de Gauss) Duas regiões com permissividades
e
são separadas por um plano
. Sabendo que o campo elétrico incidente forma um ângulo
com a normal, use o Teorema da Divergência e as condições de contorno para deduzir a relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas regiões dielétricas separadas pelo plano
. A região
tem permissividade
e a região
tem permissividade
. Um campo elétrico incidente na interface forma um ângulo
com a normal (a normal é a direção
). Na região transmitida o campo forma um ângulo
com a mesma normal.
Dados relevantes (assunções que usarei porque o enunciado não as explicitou): não existe carga de superfície livre na interface (isto é, ) e os campos são eletrostáticos (portanto
). O objetivo é deduzir a relação entre
e
usando o Teorema da Divergência (Lei de Gauss) e as condições de contorno.
Dados relevantes (assunções que usarei porque o enunciado não as explicitou): não existe carga de superfície livre na interface (isto é,
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a forma integral da Lei de Gauss para o campo deslocamento
:
Isto é o Teorema da Divergência aplicado a
. Vou usá-lo para obter a condição de contorno para a componente normal de
na interface.
Passo 3
Escolhemos um “pillbox” (um cilindro bem achatado) atravessando a interface, com área da base
paralela ao plano
e altura
muito pequena, metade em cada região. Aplicando a Lei de Gauss ao volume do pillbox temos: fluxo total = carga livre contida. As faces superior e inferior têm áreas
e normais opostas; as faces laterais têm área proporcional a
e, ao fazer
, a contribuição lateral é desprezível. Assim,
onde
é o vetor normal (apontando, digamos, para
). Cancelando
,
Com
isto dá a continuidade da componente normal de
:
Passo 4
Como
em meios lineares homogêneos, a condição anterior vira, em termos das magnitudes das componentes normais,
onde
e
são as componentes de
normais à interface nas regiões 1 e 2, respectivamente.
Passo 5
Agora obtemos a condição para a componente tangencial de
. Em regime eletrostático
. A forma integral desta equação (Teorema de Stokes) aplicada a um retângulo muito fino que cruza a interface implica que a integral de linha de
ao redor do laço é zero. Tomando a largura do retângulo ao longo da direção tangencial igual a
e a altura
na direção normal, as contribuições das arestas normais vão a zero e resta
ou seja
Portanto a componente tangencial de
é contínua na interface.
Passo 6
Agora expressemos as componentes normal e tangencial em função dos módulos dos campos e dos ângulos dados. Como o ângulo
é medido em relação à normal, para cada região:
Substituindo nas condições de contorno temos duas equações:
(pela continuidade de
) e
(pela continuidade de
).
Passo 7
Eliminamos
e
para achar relação entre
e
. Dividindo a segunda equação pela primeira (isto é,
) obtemos
Multiplicando em cruz, uma forma equivalente é