(Lei de Ampère e Simetria) O campo magnético
descreve o campo ao redor de um fio retilíneo.
(a) Verifique, pelo Teorema de Stokes, que este campo é compatível com a Lei de Ampère.
(b) Calcule a circulação de
em torno de uma espira circular de raio
.
(a) Verifique, pelo Teorema de Stokes, que este campo é compatível com a Lei de Ampère.
(b) Calcule a circulação de
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético ao redor de um fio retilíneo como
e pede duas coisas:
- (a) Verificar, usando o Teorema de Stokes, que esse campo é compatível com a Lei de Ampère. Isto envolve relacionar a circulação de
ao redor de uma curva fechada com a corrente que atravessa a superfície limitada por essa curva. - (b) Calcular explicitamente a circulação de
em torno de uma espira circular de raio .
Informações relevantes fornecidas:
- Magnitude e direção do campo:
. - A geometria: fio retilíneo (corrente
ao longo do eixo do fio), e espira/contorno circular concêntrico de raio .
Passo 2
Lembrete didático: Teorema de Stokes e Lei de Ampère (forma integral).
- Teorema de Stokes (forma que vamos usar): para um campo vetorial
e uma superfície com contorno ,
Isso diz que a circulação de
ao longo do contorno é igual ao fluxo do rotacional de
pela superfície.
- Lei de Ampère (forma integral, sem termos de deslocamento elétrico, apropriada para corrente estacionária):
onde
é a corrente elétrica atravessando
. A forma diferencial correspondente é
onde
é a densidade de corrente.
Nosso objetivo no item (a) é mostrar que a igualdade dada pela Lei de Ampère é consistente com o Teorema de Stokes aplicado ao campo fornecido.
Passo 3
Calculando o rotacional
fora do eixo (para
). Vou usar coordenadas cilíndricas
, porque o campo é naturalmente expresso nelas. Em coordenadas cilíndricas, a componente
do rotacional é (fórmula padrão)
e as outras componentes envolvem
e
. No nosso caso temos
e
, e
depende apenas de
. Portanto apenas a componente
pode ser não-nula e ela se reduz a
Passo 4
Substituindo
na expressão do passo anterior:
primeiro calcule :
primeiro calcule
que é uma constante (não depende de
) para
. Agora a derivada
Logo
E como as outras componentes já eram zero, concluímos que, para
,
Explicação física simples: fora do próprio fio (ou seja, fora do eixo onde passa a corrente) não há densidade de corrente, então
e a forma diferencial
exige
. Nosso cálculo confirma isso.
Passo 5
Onde aparece a corrente? O fio concentra a corrente ao longo do eixo
. A densidade de corrente para um fio idealizado (linha) é uma distribuição singular localizada em
; em linguagem de distribuições (delta de Dirac) isso é
ou, em coordenadas cilíndricas,
, onde
é a delta bidimensional concentrada no eixo. Isso significa que
é nulo para
mas tem uma contribuição singular em
que corresponde a
.
Esse detalhe é crucial: o cálculo direto do rotacional com funções clássicas dá zero fora do eixo, mas a Lei de Ampère integra
sobre uma superfície que pode conter a singularidade no centro. Stokes ainda vale se tratarmos corretamente a singularidade (como distribuição).
Passo 6
Aplicando Stokes a uma superfície
cujo contorno
é a espira circular de raio
centrada no fio: pelo teorema de Stokes
Se a superfície
for tomada sem incluir o eixo (por exemplo, uma coroa que evita o centro), o integrando é zero e o lado direito é zero — mas isso corresponde a não incluir a corrente atravessando a superfície. Se, em vez disso,
é um disco que contém o eixo, a integral dupla sobre
capta a contribuição singular em
, e essa integral dupla vale
. Portanto, interpretando
no sentido de distribuições e usando
, obtemos
Isto é precisamente a Lei de Ampère. Conclusão do item (a): o campo dado é compatível com a Lei de Ampère — fora do eixo o rotacional é zero, e a corrente concentrada no eixo aparece como uma contribuição singular que dá
quando integrada.
Passo 7
Agora calculamos explicitamente a circulação de
em torno de uma espira circular de raio
(item (b)). É mais direto parametrizar a curva: use o ângulo azimutal
(vou usar
para não confundir com a unidade
). A espira é dada por
constante,
constante, e o elemento de comprimento é
O produto escalar é
Passo 8
Integrando
de
a
obtemos a circulação:
Essa é a resposta numérica e simples do item (b). Observação ligada ao item (a): essa igualdade é precisamente a Lei de Ampère aplicada à espira circular — portanto confirma-se a compatibilidade com Stokes quando a contribuição singular do eixo é corretamente considerada.
Resposta
(a) Sim. Para
tem-se
, e tratando a corrente concentrada no eixo como
(distribuição), Stokes dá
, ou seja,
no sentido de distribuições.
(b)
(b)