(Lei de Ampère e Simetria) O campo magnético \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \hat{\varphi} descreve o campo ao redor de um fio retilíneo.
(a) Verifique, pelo Teorema de Stokes, que este campo é compatível com a Lei de Ampère.
(b) Calcule a circulação de \vec{B} em torno de uma espira circular de raio r.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético ao redor de um fio retilíneo como
\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}\,\hat{\varphi},
e pede duas coisas:
  1. (a) Verificar, usando o Teorema de Stokes, que esse campo é compatível com a Lei de Ampère. Isto envolve relacionar a circulação de \vec{B} ao redor de uma curva fechada com a corrente que atravessa a superfície limitada por essa curva.
  2. (b) Calcular explicitamente a circulação de \vec{B} em torno de uma espira circular de raio r.
Informações relevantes fornecidas:
  • Magnitude e direção do campo: \vec{B}=\dfrac{\mu_{0} I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
  • A geometria: fio retilíneo (corrente I ao longo do eixo do fio), e espira/contorno circular concêntrico de raio r.

Passo 2

Lembrete didático: Teorema de Stokes e Lei de Ampère (forma integral).
  • Teorema de Stokes (forma que vamos usar): para um campo vetorial \vec{B} e uma superfície S com contorno \partial S,
\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S}.
Isso diz que a circulação de \vec{B} ao longo do contorno é igual ao fluxo do rotacional de \vec{B} pela superfície.
  • Lei de Ampère (forma integral, sem termos de deslocamento elétrico, apropriada para corrente estacionária):
\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente elétrica atravessando S. A forma diferencial correspondente é
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J},
onde \vec{J} é a densidade de corrente.
Nosso objetivo no item (a) é mostrar que a igualdade dada pela Lei de Ampère é consistente com o Teorema de Stokes aplicado ao campo fornecido.

Passo 3

Calculando o rotacional \nabla\times\vec{B} fora do eixo (para r\neq 0). Vou usar coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z), porque o campo é naturalmente expresso nelas. Em coordenadas cilíndricas, a componente z do rotacional é (fórmula padrão)
(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r B_{\varphi}\big)-\frac{1}{r}\frac{\partial B_{r}}{\partial \varphi},
e as outras componentes envolvem B_{r} e B_{z}. No nosso caso temos B_{r}=0 e B_{z}=0, e B_{\varphi} depende apenas de r. Portanto apenas a componente z pode ser não-nula e ela se reduz a
(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r B_{\varphi}\big).

Passo 4

Substituindo B_{\varphi}=\dfrac{\mu_{0} I}{2\pi r} na expressão do passo anterior:
primeiro calcule r B_{\varphi}:
r B_{\varphi}=r\cdot\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}=\frac{\mu_{0} I}{2\pi},
que é uma constante (não depende de r) para r\neq 0. Agora a derivada
\frac{d}{dr}\big(r B_{\varphi}\big)=\frac{d}{dr}\left(\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\right)=0.
Logo
(\nabla\times\vec{B})_{z}= \frac{1}{r}\cdot 0 = 0.
E como as outras componentes já eram zero, concluímos que, para r\neq 0,
\nabla\times\vec{B}=\vec{0}.
Explicação física simples: fora do próprio fio (ou seja, fora do eixo onde passa a corrente) não há densidade de corrente, então \vec{J}=\vec{0} e a forma diferencial \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} exige \nabla\times\vec{B}=\vec{0}. Nosso cálculo confirma isso.

Passo 5

Onde aparece a corrente? O fio concentra a corrente ao longo do eixo z. A densidade de corrente para um fio idealizado (linha) é uma distribuição singular localizada em r=0; em linguagem de distribuições (delta de Dirac) isso é
\vec{J} = I\,\delta(x)\,\delta(y)\,\hat{z},
ou, em coordenadas cilíndricas, \vec{J}=I\,\delta^{(2)}(\vec{r}_{\perp})\,\hat{z}, onde \delta^{(2)} é a delta bidimensional concentrada no eixo. Isso significa que \nabla\times\vec{B} é nulo para r\neq 0 mas tem uma contribuição singular em r=0 que corresponde a \mu_{0}\vec{J}.
Esse detalhe é crucial: o cálculo direto do rotacional com funções clássicas dá zero fora do eixo, mas a Lei de Ampère integra \nabla\times\vec{B} sobre uma superfície que pode conter a singularidade no centro. Stokes ainda vale se tratarmos corretamente a singularidade (como distribuição).

Passo 6

Aplicando Stokes a uma superfície S cujo contorno \partial S é a espira circular de raio r centrada no fio: pelo teorema de Stokes
\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S}.
Se a superfície S for tomada sem incluir o eixo (por exemplo, uma coroa que evita o centro), o integrando é zero e o lado direito é zero — mas isso corresponde a não incluir a corrente atravessando a superfície. Se, em vez disso, S é um disco que contém o eixo, a integral dupla sobre S capta a contribuição singular em r=0, e essa integral dupla vale \mu_{0}I. Portanto, interpretando \nabla\times\vec{B} no sentido de distribuições e usando \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}, obtemos
\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\iint_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S}=\mu_{0}I_{\text{enc}}.
Isto é precisamente a Lei de Ampère. Conclusão do item (a): o campo dado é compatível com a Lei de Ampère — fora do eixo o rotacional é zero, e a corrente concentrada no eixo aparece como uma contribuição singular que dá \mu_{0}I quando integrada.

Passo 7

Agora calculamos explicitamente a circulação de \vec{B} em torno de uma espira circular de raio r (item (b)). É mais direto parametrizar a curva: use o ângulo azimutal \varphi (vou usar \varphi para não confundir com a unidade \hat{\varphi}). A espira é dada por r= constante, z= constante, e o elemento de comprimento é
d\vec{\ell}=r\,d\varphi\,\hat{\varphi}.
O produto escalar é
\vec{B}\cdot d\vec{\ell}= \left(\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\hat{\varphi}\right)\cdot\left(r\,d\varphi\,\hat{\varphi}\right)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\,d\varphi.

Passo 8

Integrando \varphi de 0 a 2\pi obtemos a circulação:
\oint_{\text{espira}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\,d\varphi=\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\cdot 2\pi=\mu_{0} I.
Essa é a resposta numérica e simples do item (b). Observação ligada ao item (a): essa igualdade é precisamente a Lei de Ampère aplicada à espira circular — portanto confirma-se a compatibilidade com Stokes quando a contribuição singular do eixo é corretamente considerada.

Resposta

(a) Sim. Para r\neq 0 tem-se \nabla\times\vec{B}=\vec{0}, e tratando a corrente concentrada no eixo como \vec{J}=I\,\delta(x)\delta(y)\,\hat{z} (distribuição), Stokes dá \oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\iint_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S}=\mu_{0}I_{\text{enc}}, ou seja, \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} no sentido de distribuições.
(b) \displaystyle \oint_{\text{espira}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}I

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