(Lei de Gauss e Simetria Esférica) Um campo elétrico no vácuo é dado por \vec{E}(r)=\frac{k}{r^{2}} \hat{r}.
(a) Calcule o fluxo elétrico através de uma esfera de raio R.
(b) Determine a densidade de carga associada usando o Teorema da Divergência.
(c) Interprete o resultado à luz da Lei de Gauss.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que se pede e o que temos):
O campo elétrico no vácuo é dado por \vec{E}(r)=\dfrac{k}{r^{2}}\hat{r}, onde \hat{r} é o vetor unitário radial e k é uma constante. Está implícito que o campo é central (simétrico em torno da origem).
As perguntas são:
(a) Calcular o fluxo elétrico através de uma esfera de raio R (presumindo a esfera centrada na origem).
(b) Determinar a densidade de carga associada usando o Teorema da Divergência.
(c) Interpretar o resultado à luz da Lei de Gauss.
Informações relevantes e suposições claras:
A esfera é centrada na origem (caso contrário a simetria muda).
O vetor normal à superfície da esfera coincide com \hat{r}.
Podemos usar coordenadas esféricas e a fórmula do Teorema da Divergência / Lei de Gauss.
Passo 2
Cálculo do fluxo através da esfera (ideia e expressão da integral de superfície).
Explicação rápida do que é fluxo: o fluxo de \vec{E} através de uma superfície S é \displaystyle \Phi=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}, onde d\vec{A} é o elemento de área vetorial que aponta para fora.
Na esfera de raio R temos:
O campo em toda a superfície tem magnitude \left|\vec{E}(R)\right|=\dfrac{k}{R^{2}} e direção radial \hat{r}.
O elemento de área em coordenadas esféricas é d\vec{A}=\hat{r}\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
(Explicação rápida: essa fórmula vem de aplicar a definição \nabla\cdot\vec{F}=\lim_{V\to0}\dfrac{1}{V}\oint \vec{F}\cdot d\vec{A} a um volume esférico pequeno ou diretamente da expressão da divergência em coordenadas esféricas.)
e esse resultado vale para qualquer R>0. Ou seja, toda a carga está concentrada na origem.
Como vimos que \nabla\cdot\vec{E}=0 para r>0 mas a integral sobre qualquer bola centrada na origem é não nula, a única forma de representar a densidade de carga é por uma distribuição pontual no centro: a função delta de Dirac em três dimensões. Assim a densidade é
Comentário sobre a delta: \delta^{(3)}(\vec{r}) satisfaz \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{3}}\delta^{(3)}(\vec{r})\,d^{3}r=1, e concentra toda a carga no ponto \vec{r}=\vec{0}.
Passo 6
Interpretação final à luz da Lei de Gauss e conexão com a forma usual do campo de Coulomb.
A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual a Q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0}. Aqui o fluxo foi \Phi=4\pi k, então a carga efetiva no centro é Q_{\text{enc}}=\varepsilon_{0}\Phi=4\pi k\varepsilon_{0}. Isso confirma a densidade pontual encontrada.
Portanto o campo \vec{E}(r)=\dfrac{k}{r^{2}}\hat{r} é exatamente o campo gerado por uma carga pontual Q=4\pi k\varepsilon_{0} localizada na origem.
Observação prática: na forma usual do campo de Coulomb em SI temos \vec{E}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}. Comparando com \dfrac{k}{r^{2}}\hat{r}, vemos que se k=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} então Q=q. Ou seja, k está relacionado à carga por k=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}.
Mensagem final de incentivo: ficou claro que simetria + Gauss + divergência tornam esse problema bem mecânico — e é exatamente daí que vem a beleza da Lei de Gauss. Você está indo bem; repete esse tipo de resolução alguns vezes e pega o jeito!
Resposta
(a) \Phi=4\pi k
(b) \displaystyle \rho(\vec{r})=4\pi k\,\varepsilon_{0}\,\delta^{(3)}(\vec{r})
(c) O campo corresponde ao de uma carga pontual Q=4\pi k\,\varepsilon_{0} colocada na origem; pela Lei de Gauss o fluxo \Phi confirma Q=\varepsilon_{0}\Phi.