(Lei de Gauss e Simetria Esférica) Um campo elétrico no vácuo é dado por \vec{E}(r)=\frac{k}{r^{2}} \hat{r}.
(a) Calcule o fluxo elétrico através de uma esfera de raio R.
(b) Determine a densidade de carga associada usando o Teorema da Divergência.
(c) Interprete o resultado à luz da Lei de Gauss.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede e o que temos):
  • O campo elétrico no vácuo é dado por \vec{E}(r)=\dfrac{k}{r^{2}}\hat{r}, onde \hat{r} é o vetor unitário radial e k é uma constante. Está implícito que o campo é central (simétrico em torno da origem).
  • As perguntas são:
    (a) Calcular o fluxo elétrico através de uma esfera de raio R (presumindo a esfera centrada na origem).
    (b) Determinar a densidade de carga associada usando o Teorema da Divergência.
    (c) Interpretar o resultado à luz da Lei de Gauss.
Informações relevantes e suposições claras:
  • A esfera é centrada na origem (caso contrário a simetria muda).
  • O vetor normal à superfície da esfera coincide com \hat{r}.
  • Podemos usar coordenadas esféricas e a fórmula do Teorema da Divergência / Lei de Gauss.

Passo 2

Cálculo do fluxo através da esfera (ideia e expressão da integral de superfície).
Explicação rápida do que é fluxo: o fluxo de \vec{E} através de uma superfície S é \displaystyle \Phi=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}, onde d\vec{A} é o elemento de área vetorial que aponta para fora.
Na esfera de raio R temos:
  • O campo em toda a superfície tem magnitude \left|\vec{E}(R)\right|=\dfrac{k}{R^{2}} e direção radial \hat{r}.
  • O elemento de área em coordenadas esféricas é d\vec{A}=\hat{r}\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Portanto o produto escalar é
\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{k}{R^{2}}\hat{r}\cdot\hat{r}\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\;k\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Avaliação explícita da integral de superfície (fazer o cálculo passo a passo).
O fluxo é
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} k\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Integramos em \theta primeiro:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = -(-1)-(-1)=2.
Então
\Phi = k\int_{0}^{2\pi} 2\,d\varphi = k\cdot 2\cdot 2\pi = 4\pi k.
Conclusão parcial: o fluxo através de qualquer esfera centrada na origem, de raio R arbitrário, é \Phi=4\pi k (independente de R).

Passo 4

Cálculo da divergência de \vec{E} para r>0 usando fórmula para campo radial.
Fato útil (fórmula): para um campo que depende só de r e aponta radialmente, \vec{F}(r)=f(r)\hat{r}, a divergência em coordenadas esféricas é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}f(r)\big).
(Explicação rápida: essa fórmula vem de aplicar a definição \nabla\cdot\vec{F}=\lim_{V\to0}\dfrac{1}{V}\oint \vec{F}\cdot d\vec{A} a um volume esférico pequeno ou diretamente da expressão da divergência em coordenadas esféricas.)
Aqui temos f(r)=\dfrac{k}{r^{2}}. Então
r^{2}f(r)=r^{2}\cdot\frac{k}{r^{2}}=k,
que é constante. Diferenciando,
\frac{d}{dr}\big(r^{2}f(r)\big)=\frac{d}{dr}(k)=0.
Portanto, para r>0,
\nabla\cdot\vec{E}(r)=0.
Interpretação imediata: fora da origem o campo é sem divergência (não há densidade de carga espalhada pelo espaço exceto possivelmente em r=0).

Passo 5

Uso do Teorema da Divergência para encontrar a carga total dentro da esfera e inferir a densidade de carga.
Teorema da Divergência (Gauss integral): para um volume V com fronteira \partial V,
\int_{V} (\nabla\cdot\vec{E})\,dV = \oint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
Pela forma diferencial da Lei de Gauss \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}. Integrando sobre a bola de raio R centrada na origem,
\int_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,dV = \oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
O lado direito já calculamos: é 4\pi k. Logo
\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV = 4\pi k.
Isto significa que a carga total contida na bola é
Q_{\text{total}}=\int_{V}\rho\,dV = 4\pi k\,\varepsilon_{0},
e esse resultado vale para qualquer R>0. Ou seja, toda a carga está concentrada na origem.
Como vimos que \nabla\cdot\vec{E}=0 para r>0 mas a integral sobre qualquer bola centrada na origem é não nula, a única forma de representar a densidade de carga é por uma distribuição pontual no centro: a função delta de Dirac em três dimensões. Assim a densidade é
\rho(\vec{r}) = Q_{\text{total}}\,\delta^{(3)}(\vec{r}) = 4\pi k\,\varepsilon_{0}\,\delta^{(3)}(\vec{r}).
Comentário sobre a delta: \delta^{(3)}(\vec{r}) satisfaz \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{3}}\delta^{(3)}(\vec{r})\,d^{3}r=1, e concentra toda a carga no ponto \vec{r}=\vec{0}.

Passo 6

Interpretação final à luz da Lei de Gauss e conexão com a forma usual do campo de Coulomb.
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual a Q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0}. Aqui o fluxo foi \Phi=4\pi k, então a carga efetiva no centro é Q_{\text{enc}}=\varepsilon_{0}\Phi=4\pi k\varepsilon_{0}. Isso confirma a densidade pontual encontrada.
  • Portanto o campo \vec{E}(r)=\dfrac{k}{r^{2}}\hat{r} é exatamente o campo gerado por uma carga pontual Q=4\pi k\varepsilon_{0} localizada na origem.
  • Observação prática: na forma usual do campo de Coulomb em SI temos \vec{E}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}. Comparando com \dfrac{k}{r^{2}}\hat{r}, vemos que se k=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} então Q=q. Ou seja, k está relacionado à carga por k=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}.
Mensagem final de incentivo: ficou claro que simetria + Gauss + divergência tornam esse problema bem mecânico — e é exatamente daí que vem a beleza da Lei de Gauss. Você está indo bem; repete esse tipo de resolução alguns vezes e pega o jeito!

Resposta

(a) \Phi=4\pi k
(b) \displaystyle \rho(\vec{r})=4\pi k\,\varepsilon_{0}\,\delta^{(3)}(\vec{r})
(c) O campo corresponde ao de uma carga pontual Q=4\pi k\,\varepsilon_{0} colocada na origem; pela Lei de Gauss o fluxo \Phi confirma Q=\varepsilon_{0}\Phi.

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