• Qual é a diferença entre a aplicação da conservação de energia em um intervalo de tempo ou em um instante de tempo?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a diferença conceitual e prática entre usar a conservação de energia numa faixa de tempo finita e usá-la num único instante. O conteúdo envolve a primeira lei da termodinâmica (ou teorema da energia cinética/mecânica) em suas formas integral e diferencial.

Passo 2

Aplicação em um intervalo de tempo finito: aqui empregamos a forma integral da conservação de energia, que relaciona as trocas de calor e trabalho acumuladas entre dois instantes \,t_1 e \,t_2 com a variação de energia interna (ou mecânica) do sistema. Em termos gerais:
E(t_2) - E(t_1) = Q_{\,\text{in}} - W_{\,\text{out}}
Nesta forma:
  • E(t_2)-E(t_1) é a variação total de energia do sistema no intervalo;
  • Q_{\,\text{in}} é o calor recebido no intervalo;
  • W_{\,\text{out}} é o trabalho realizado pelo sistema no mesmo intervalo.

Passo 3

Aplicação num instante de tempo: aqui usamos a forma diferencial (ou de balanço de potências), que expressa a conservação de energia em termos de taxas instantâneas. Em vez de variações totais, lidamos com derivadas em relação ao tempo:
\frac{dE}{dt} = \dot Q - \dot W
onde:
  • \frac{dE}{dt} é a taxa instantânea de variação de energia do sistema;
  • \dot Q é a potência de calor (taxa de calor recebido por unidade de tempo);
  • \dot W é a potência de trabalho (taxa de trabalho realizado por unidade de tempo).

Passo 4

Relação entre as formas integral e diferencial:
  1. Se integramos a equação diferencial de t_1 a t_2, recuperamos a forma integral:
\int_{t_1}^{t_2} \frac{dE}{dt}\,dt = \int_{t_1}^{t_2} (\dot Q - \dot W)\,dt \;\Longrightarrow\; E(t_2)-E(t_1)=Q_{\,\text{in}}-W_{\,\text{out}}.
  1. Assim, a forma integral dá o resultado acumulado entre dois instantes, enquanto a forma diferencial dá o balanço instantâneo.

Passo 5

Quando usar cada forma:
  • Se você quer saber o total de calor e trabalho num processo que vai de t_1 a t_2, usa a forma integral.
  • Se está modelando uma variação contínua e precisa do comportamento minuto a minuto (por exemplo, potência, fluxo de calor variável), usa a forma diferencial e, se necessário, integra depois.

Resposta

A diferença é que na aplicação em um intervalo de tempo usamos a forma integral da conservação de energia, que relaciona as trocas totais de calor e trabalho entre dois instantes com a variação de energia do sistema, enquanto na aplicação em um instante de tempo usamos a forma diferencial, que estabelece um balanço de taxas (potências) de calor e trabalho e a taxa de variação instantânea da energia.

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