Uma tubulação de 10 mm de diâmetro utilizada para resfriamento, por onde passa um fluido a 5^{\circ} \mathrm{C}, está revestida com 3 mm de isolamento de um tipo de vidro celular ( k =0,06 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ). A temperatura ambiente é de 27^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo de troca térmica é de 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A condução através da parede do tubo é desprezível. Verifique se o isolamento cumpre bem o seu papel de diminuir a taxa de transferência de calor em relação à tubulação sem isolamento. Determine a taxa máxima de calor trocado, ou seja, o calor trocado quando a espessura do isolante corresponde ao raio crítico de isolamento.

Passo 1

O enunciado dá um tubo de diâmetro interno 10,mm (logo raio interno r_{1}=5,mm) por onde circula fluido a 5^\circ\mathrm{C}, revestido com isolamento de vidro celular de espessura 3,mm (condutividade térmica k=0{,}06,W/mK). O tubo está em ar a 27^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=5,W/ m^{2}K e desprezamos a resistência de condução no metal. O objetivo é (i) verificar se o isolamento de 3,mm reduz o fluxo de calor em comparação ao caso sem isolamento e (ii) determinar a taxa máxima de calor por unidade de comprimento, que ocorre quando a espessura do isolante leva o raio externo ao valor crítico.

Passo 2

Para um cilindro, o raio crítico de isolamento \displaystyle r_{c} satisfaz
r_{c}=\frac{k}{h}.
Substituindo k=0{,}06,W/mK e h=5,W/ m^{2}K,
r_{c}=\frac{0{,}06}{5}=0{,}012\\ \mathrm{m}=12\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

O raio externo com os 3,mm de isolamento é
r_{2}=r_{1}+0{,}003=0{,}005+0{,}003=0{,}008\\ \mathrm{m}=8\\ \mathrm{mm}.
Como r_{2}=8,mm é menor que r_{c}=12,mm, o isolamento fino aumenta a transferência de calor em vez de reduzi-la. Ou seja, com 3,mm o isolamento não cumpre bem o papel de diminuir a taxa de calor comparado ao tubo nu.

Passo 4

A taxa de calor por unidade de comprimento q' para um cilindro com raio externo r_{2} é
q'=\frac{\Delta T}{R'}\quad\text{com}\quad R'=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\biggl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\biggr)+\frac{1}{2\pi r_{2}h},
onde \Delta T=T_{\infty}-T_{\rm fluido}=27-5=22,K. No caso crítico r_{2}=r_{c}, nota-se que
\frac{1}{2\pi r_{c}h}=\frac{1}{2\pi\,k}
e portanto
R'_{\max} =\frac{1}{2\pi k}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{r_{c}}{r_{1}}\bigr)+1\Bigr].
Logo,
q'_{\max} =\frac{\Delta T}{R'_{\max}} =2\pi k\,\frac{\Delta T}{\ln\!\bigl(\tfrac{r_{c}}{r_{1}}\bigr)+1}.
Substituindo k=0{,}06,W/mK, \Delta T=22,K, r_{1}=0{,}005,m e r_{c}=0{,}012,m,
\ln\!\bigl(\tfrac{0{,}012}{0{,}005}\bigr)=\ln(2{,}4)\approx0{,}8755,
q'_{\max} =2\pi\cdot0{,}06\cdot\frac{22}{0{,}8755+1} \approx\frac{8{,}285}{1{,}8755} \approx4{,}42\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

O isolamento de 3,mm é menor que o raio crítico de 12,mm, portanto aumenta a taxa de calor em vez de reduzi-la. A taxa máxima de calor (por metro de tubo), obtida quando a espessura faz o raio externo igual a r_{c}, é
q'_{\max}\approx4{,}42\\ \mathrm{W/m}.

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