Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se calcular o limite
. - A informação imediata ao tentar substituir
é:
logo a expressão toma a forma indeterminada
.
Passo 2
O que significa a forma indeterminada
e o que devemos fazer.
- Quando ao substituir o ponto no numerador e denominador obtemos
, isso não quer dizer que o limite não exista; quer dizer que há uma indeterminação e precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar o fator que causa o zero no denominador. - Uma maneira comum é fatorar o numerador (ou racionalizar, dependendo do caso) e cancelar o fator comum com o denominador, obtendo uma função equivalente para
cuja continuidade permita calcular o limite por substituição direta.
Passo 3
Fórmula de fatoração (soma de cubos) e explicação detalhada.
- A identidade algébrica para soma de cubos é
- Explicando cada parte:
e são quaisquer números (ou expressões). A fatoração diz que o polinômio de grau 3 sempre tem o fator linear . - Para ver que é verdade, expanda o lado direito:
Agrupando termos:
- Ou seja, os termos
e cancelam, assim como e , sobrando .
Passo 4
Aplicando a fatoração ao numerador do limite.
- No nosso caso, tome
e . Então
- Ou seja,
Passo 5
Cancelar o fator comum e justificar a troca.
- Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para
,
- A igualdade vale para todo
exceto (onde a expressão original não está definida). Porém, para calcular o limite quando podemos trabalhar com a função simplificada , porque as duas funções coincidem numa vizinhança de (tirando o ponto), e limites dependem apenas do comportamento próximo do ponto.
Passo 6
Calcular o limite avaliando a função simplificada em
.
- Basta substituir
na expressão simplificada:
- Calculando passo a passo:
portanto
- Logo o limite existe e vale
.