Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^{3}+1}{x+1}.
  • A informação imediata ao tentar substituir x=-1 é:
(-1)^{3}+1=-1+1=0 \qquad\text{e}\qquad -1+1=0,
logo a expressão toma a forma indeterminada \frac{0}{0}.

Passo 2

O que significa a forma indeterminada \frac{0}{0} e o que devemos fazer.
  • Quando ao substituir o ponto no numerador e denominador obtemos 0/0, isso não quer dizer que o limite não exista; quer dizer que há uma indeterminação e precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar o fator que causa o zero no denominador.
  • Uma maneira comum é fatorar o numerador (ou racionalizar, dependendo do caso) e cancelar o fator comum com o denominador, obtendo uma função equivalente para x\neq -1 cuja continuidade permita calcular o limite por substituição direta.

Passo 3

Fórmula de fatoração (soma de cubos) e explicação detalhada.
  • A identidade algébrica para soma de cubos é
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
  • Explicando cada parte: a e b são quaisquer números (ou expressões). A fatoração diz que o polinômio de grau 3 a^{3}+b^{3} sempre tem o fator linear a+b.
  • Para ver que é verdade, expanda o lado direito:
(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a\cdot a^{2}-a\cdot ab+a\cdot b^{2}+b\cdot a^{2}-b\cdot ab+b\cdot b^{2}.
Agrupando termos:
= a^{3}-a^{2}b+a b^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.
  • Ou seja, os termos -a^{2}b e +a^{2}b cancelam, assim como +ab^{2} e -ab^{2}, sobrando a^{3}+b^{3}.

Passo 4

Aplicando a fatoração ao numerador do limite.
  • No nosso caso, tome a=x e b=1. Então
x^{3}+1 = x^{3}+1^{3} = (x+1)\bigl(x^{2}-x\cdot 1 + 1^{2}\bigr).
  • Ou seja,
x^{3}+1=(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr).

Passo 5

Cancelar o fator comum e justificar a troca.
  • Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para x\neq -1,
\frac{x^{3}+1}{x+1} = \frac{(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr)}{x+1} = x^{2}-x+1.
  • A igualdade vale para todo x exceto x=-1 (onde a expressão original não está definida). Porém, para calcular o limite quando x\to -1 podemos trabalhar com a função simplificada x^{2}-x+1, porque as duas funções coincidem numa vizinhança de -1 (tirando o ponto), e limites dependem apenas do comportamento próximo do ponto.

Passo 6

Calcular o limite avaliando a função simplificada em x=-1.
  • Basta substituir x=-1 na expressão simplificada:
x^{2}-x+1 \biggr|_{x=-1} = (-1)^{2} - (-1) + 1.
  • Calculando passo a passo:
(-1)^{2}=1,\qquad -(-1)=+1,
portanto
1+1+1=3.
  • Logo o limite existe e vale 3.

Resposta

\;3\;

Exercícios relacionados