Exercício 0.18 Resolva a inequação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A função envolvida é
(seno) definida para todo . - Não há restrições adicionais sobre
além de ser real.
O objetivo é encontrar todos osque satisfazem a inequação.
Passo 2
Transformar a inequação em uma forma algébrica mais simples. Vamos colocar tudo em um lado:
Isto é uma inequação em termos de
. Uma técnica útil é fazer a substituição
lembrando que
porque o seno varia entre
e
. Com isso a inequação fica
Passo 3
Resolver a inequação quadrática em
:
Factorizando o polinômio:
Então queremos
Esse produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima e o produto é negativo entre as raízes. Logo
Passo 4
Voltar a interpretar em termos de
: a condição
significa
Portanto precisamos encontrar todos os
tais que o seno esteja estritamente entre
e
.
Passo 5
Encontrar as equações limites que determinam os intervalos:
-
tem soluções
-
tem as soluções no círculo trigonométrico
Esses valores serão os pontos onde a condição muda de sinal.
Passo 6
Determinar, no intervalo fundamental entre duas raízes de
, onde a desigualdade é satisfeita. Considere o intervalo
, onde
é não negativa e atinge
em
e
.
- Em
tem-se . - Em
tem-se (até ) e depois decresce, então não satisfaz. - Em
tem-se novamente.
Agora use a periodicidade do seno:
. Assim os intervalos acima se repetem com período
. Podemos escrever os intervalos gerais (tomando
):
Passo 7
Opcional — reescrever o segundo intervalo de forma alternativa: note que
e
. Assim uma forma equivalente é
Isso descreve todas as soluções, com endpoints excluídos porque a desigualdade é estrita.