Exercício 0.18 Resolva a inequação
2 \operatorname{sen}^{2} x<\operatorname{sen} x, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2\operatorname{sen}^{2}x<\operatorname{sen} x,\qquad x\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é \operatorname{sen} x (seno) definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Não há restrições adicionais sobre x além de ser real.
    O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação.

Passo 2

Transformar a inequação em uma forma algébrica mais simples. Vamos colocar tudo em um lado:
2\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x<0.
Isto é uma inequação em termos de \operatorname{sen} x. Uma técnica útil é fazer a substituição
t=\operatorname{sen} x,
lembrando que \,t\in[-1,1]\, porque o seno varia entre -1 e 1. Com isso a inequação fica
2t^{2}-t<0.

Passo 3

Resolver a inequação quadrática em t:
2t^{2}-t<0.
Factorizando o polinômio:
2t^{2}-t=t(2t-1).
Então queremos
t(2t-1)<0.
Esse produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes são t=0 e t=\tfrac{1}{2}. Como o coeficiente de t^{2} é positivo, a parábola abre para cima e o produto é negativo entre as raízes. Logo
t\in\left(0,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Voltar a interpretar em termos de x: a condição \,t=\operatorname{sen} x\in\left(0,\tfrac{1}{2}\right)\, significa
0<\operatorname{sen} x<\tfrac{1}{2}.
Portanto precisamos encontrar todos os x tais que o seno esteja estritamente entre 0 e \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Encontrar as equações limites que determinam os intervalos:
  • \operatorname{sen} x=0 tem soluções
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • \operatorname{sen} x=\tfrac{1}{2} tem as soluções no círculo trigonométrico
x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses valores serão os pontos onde a condição muda de sinal.

Passo 6

Determinar, no intervalo fundamental entre duas raízes de \operatorname{sen} x=0, onde a desigualdade é satisfeita. Considere o intervalo [0,\pi], onde \operatorname{sen} x é não negativa e atinge \tfrac{1}{2} em x=\tfrac{\pi}{6} e x=\tfrac{5\pi}{6}.
  • Em 0<x<\tfrac{\pi}{6} tem-se 0<\operatorname{sen} x<\tfrac{1}{2}.
  • Em \tfrac{\pi}{6}<x<\tfrac{5\pi}{6} tem-se \operatorname{sen} x>\tfrac{1}{2} (até \pi/2) e depois decresce, então não satisfaz.
  • Em \tfrac{5\pi}{6}<x<\pi tem-se 0<\operatorname{sen} x<\tfrac{1}{2} novamente.
Agora use a periodicidade do seno: \operatorname{sen}(x+2k\pi)=\operatorname{sen} x. Assim os intervalos acima se repetem com período 2\pi. Podemos escrever os intervalos gerais (tomando k\in\mathbb{Z}):
x\in\bigl(2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\quad\text{ou}\quad x\in\bigl(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\;2k\pi+\pi\bigr).

Passo 7

Opcional — reescrever o segundo intervalo de forma alternativa: note que 2k\pi+\pi=(2k+1)\pi e 2k\pi+\tfrac{5\pi}{6}=(2k+1)\pi-\tfrac{\pi}{6}. Assim uma forma equivalente é
x\in\bigl(2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\quad\text{ou}\quad x\in\bigl((2k+1)\pi-\tfrac{\pi}{6},\;(2k+1)\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso descreve todas as soluções, com endpoints excluídos porque a desigualdade é estrita.

Resposta

x\in\bigl(2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \cup\\ \bigl(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\;2k\pi+\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.

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