Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos dado: calcular o limite
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão tem forma
quando , porque e . - O objetivo é encontrar o valor numérico para o qual essa razão se aproxima quando
tende a .
Passo 2
Ideia geral para resolver: quando uma expressão dá forma indeterminada
, uma técnica comum é usar uma factorização que cancele o fator responsável pelo zero. Aqui aparece uma raiz cúbica, então a identidade da diferença de cubos é útil:
Vou aplicar essa identidade com
e
, porque
e
.
Passo 3
Aplicar a identidade
com
,
. Então
Esta é a fatoração do denominador em termos de
.
Passo 4
Substituir essa fatoração no limite para cancelar o fator
. Temos
válido para
. Assim a expressão simplificada não apresenta mais indeterminação próxima de
.
Passo 5
Agora calculamos o limite da expressão simplificada substituindo
. Como
, obtemos
Passo 6
Calcular o denominador numericamente:
Portanto o limite é