Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos dado: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão tem forma \frac{0}{0} quando x=8, porque \sqrt[3]{8}=2 e 8-8=0.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico para o qual essa razão se aproxima quando x tende a 8.

Passo 2

Ideia geral para resolver: quando uma expressão dá forma indeterminada \frac{0}{0}, uma técnica comum é usar uma factorização que cancele o fator responsável pelo zero. Aqui aparece uma raiz cúbica, então a identidade da diferença de cubos é útil:
a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Vou aplicar essa identidade com a=\sqrt[3]{x} e b=2, porque x=(\sqrt[3]{x})^3 e 8=2^3.

Passo 3

Aplicar a identidade \;a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\; com a=\sqrt[3]{x}, b=2. Então
x-8=(\sqrt[3]{x})^3-2^3=(\sqrt[3]{x}-2)\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr).
Esta é a fatoração do denominador em termos de \sqrt[3]{x}-2.

Passo 4

Substituir essa fatoração no limite para cancelar o fator \sqrt[3]{x}-2. Temos
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8} =\frac{\sqrt[3]{x}-2}{(\sqrt[3]{x}-2)\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)} =\frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4},
válido para x\neq 8. Assim a expressão simplificada não apresenta mais indeterminação próxima de x=8.

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada substituindo x\to 8. Como \sqrt[3]{8}=2, obtemos
\lim_{x\to 8}\frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4} =\frac{1}{2^2+2\cdot 2+4}.

Passo 6

Calcular o denominador numericamente:
2^2+2\cdot 2+4=4+4+4=12.
Portanto o limite é
\frac{1}{12}.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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