a) Que diferença haveria na resposta do sistema se no lugar do controlador projetado se usasse um controlador PI? Justifique a resposta.
b) Por que não seria conveniente controlar este sistema com um controlador derivativo?
b) Por que não seria conveniente controlar este sistema com um controlador derivativo?
Passo 1
O que a questão pede?
a) Comparar a resposta do sistema se, em vez do controlador que projetamos (por exemplo um PD ou PID), usássemos um controlador PI.
b) Explicar por que um controlador derivativo puro (D) não é uma boa ideia para esse sistema.
a) Comparar a resposta do sistema se, em vez do controlador que projetamos (por exemplo um PD ou PID), usássemos um controlador PI.
b) Explicar por que um controlador derivativo puro (D) não é uma boa ideia para esse sistema.
Conteúdo envolvido: teoria de controle (como funcionam controles P, I e D), efeito desses termos na resposta em regime transitório e permanente.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definições de controlador PI e derivativo, suas funções de transferência.
- Entendimento de como o termo integral elimina erro em regime permanente, mas adiciona fase-lag.
- Noção de sensibilidade a ruído do termo derivativo.
Passo 2
Primeiro, lembre do controlador PI.
Ele tem função de transferência
Ele tem função de transferência
– o termo
faz a ação proporcional (ajusta a saída conforme o erro instantâneo).
– o termo é o integral (acumula erro ao longo do tempo para zerar o erro em regime permanente).
– o termo
Teoria aplicada:
- O polo em
(do ) garante que, para uma referência em degrau, o erro final vai a zero. - Mas esse polo também adiciona ∼90° de defasagem extra, reduzindo a margem de fase do sistema e, em geral, deixando a resposta mais lenta e com possível aumento de sobre-sinal (overshoot).
Passo 3
Agora, supondo que o controlador projetado originalmente era, por exemplo, um PD (ou um PID com derivativo forte), trocá-lo por um PI traz duas mudanças principais:
- Erro em regime permanente:
- Com o PI o erro final a um degrau de referência vai a zero (graças ao integral).
- Se o controlador projetado não tivesse ação integral, haveria sempre um erro em regime permanente.
- Tempo de acomodação e overshoot:
- O integral atrasa a resposta (mais fase-lag), então o sistema demora mais para se estabilizar.
- Pode aumentar o overshoot, porque a fase total cai.
Passo 4
Diferença prática na resposta:
- Steady-state: PI ⇒ erro zero; controlador original (sem I) ⇒ erro residual.
- Transitório: PI ⇒ resposta mais lenta, overshoot maior; controlador original ⇒ possivelmente resposta mais rápida e mais amortecida (dependendo do derivativo).
Passo 5
Justificativa resumida para (a):
Usando PI, a gente resolve o erro em regime permanente (bom para precisão), mas paga o preço de um trânsito mais “mole” (resposta mais lenta e menos estável, com mais overshoot).
Usando PI, a gente resolve o erro em regime permanente (bom para precisão), mas paga o preço de um trânsito mais “mole” (resposta mais lenta e menos estável, com mais overshoot).
Passo 6
Parte (b): por que não usar só controlador derivativo (D)?
- Um controlador puro
tem função . - Sem ganho em DC: como
, ele não corrige erro em regime permanente (erro não vai a zero). - Ruído: derivada amplifica componentes de alta frequência (ruídos do sensor viram saltos gigantes na saída).
- Praticidade: implementações reais exigem filtros para o termo derivativo (senão o atuador “pula” a cada ruído), e mesmo assim é instável.
Resposta
a) Com um PI, o sistema não teria erro de estado estacionário (referência em degrau seria alcançada exatamente), mas ficaria mais lento e com maior overshoot devido ao polo no zero (fase-lag).
b) Um controlador derivativo puro não elimina erro em regime permanente e é extremamente sensível a ruídos, tornando-se impraticável no mundo real.
b) Um controlador derivativo puro não elimina erro em regime permanente e é extremamente sensível a ruídos, tornando-se impraticável no mundo real.