A diferença entre os perímetros de dois quadrados é 32m e a diferença entre as áreas é 176m². Calcule as medidas dos lados desse quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois quadrados e sabe que a diferença entre os perímetros deles é de 32 metros, e a diferença entre as áreas é de 176 metros quadrados. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto mede cada lado desses quadrados. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de perímetro e área dos quadrados e fazer umas contas com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
- Perímetro do quadrado: Se o lado do quadrado é $ l $, então o perímetro $ P $ é dado por:
- Área do quadrado: Se o lado do quadrado é $ l $, então a área $ A $ é:
Passo 3
Vamos chamar o lado do menor quadrado de $ l_1 $ e o lado do maior quadrado de $ l_2 $. Sabemos que:
E também:
Substituindo as fórmulas de perímetro e área, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a primeira equação dividindo tudo por 4:
Isso significa que o lado do maior quadrado é 8 metros maior que o do menor quadrado.
Passo 5
Agora, vamos usar a diferença de quadrados na segunda equação:
Já sabemos que $ l_2 - l_1 = 8 $, então:
Dividindo ambos os lados por 8:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos somar as duas equações:
Passo 7
Com $ l_2 = 15 $, vamos encontrar $ l_1 $ usando a primeira equação:
Resposta
Os lados dos quadrados medem 7 metros e 15 metros.