A diferença entre os perímetros de dois quadrados é 32m e a diferença entre as áreas é 176m². Calcule as medidas dos lados desse quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois quadrados e sabe que a diferença entre os perímetros deles é de 32 metros, e a diferença entre as áreas é de 176 metros quadrados. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto mede cada lado desses quadrados. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de perímetro e área dos quadrados e fazer umas contas com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
  • Perímetro do quadrado: Se o lado do quadrado é $ l $, então o perímetro $ P $ é dado por: l
  • Área do quadrado: Se o lado do quadrado é $ l $, então a área $ A $ é: P

Passo 3

Vamos chamar o lado do menor quadrado de $ l_1 $ e o lado do maior quadrado de $ l_2 $. Sabemos que:
l1
E também:
l2
Substituindo as fórmulas de perímetro e área, temos:
P2 - P1 = 32 metros
A2 - A1 = 176 metros quadrados

Passo 4

Vamos simplificar a primeira equação dividindo tudo por 4:
l2 - l1 = 8
Isso significa que o lado do maior quadrado é 8 metros maior que o do menor quadrado.

Passo 5

Agora, vamos usar a diferença de quadrados na segunda equação:
l2^2 - l1^2 = (l2 - l1)(l2 + l1) = 176
Já sabemos que $ l_2 - l_1 = 8 $, então:
l2 - l1 = 8
Dividindo ambos os lados por 8:
8 times (l2 + l1) = 176

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
l2 - l1 = 8 l2 + l1 = 22
Vamos somar as duas equações:
(l2 - l1) + (l2 + l1) = 8 + 22 2l2 = 30 l2 = 15

Passo 7

Com $ l_2 = 15 $, vamos encontrar $ l_1 $ usando a primeira equação:
l2 = 15

Resposta

Os lados dos quadrados medem 7 metros e 15 metros.

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