Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A, comprimento L e resistividade rho. Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 30,0 e a corrente seja multiplicada por 4,00. Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma, determine (b) a razão entre a nova seção reta e A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio com certa área de seção reta $ A $, comprimento $ L $, e resistividade $ \rho $. Aplicamos uma diferença de potencial $ V $ nele, o que gera uma corrente e dissipa uma potência. Agora, queremos mudar o $ V $ e esticar o fio de modo que a potência dissipada seja 30 vezes maior e a corrente seja 4 vezes maior. A massa específica do fio permanece a mesma. Precisamos descobrir a relação entre a nova área de seção reta e a original $ A $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas fórmulas importantes. A resistência elétrica $ R $ de um fio é dada por:
R
A corrente $ I $ que passa pelo fio é:
R = rho LA
E a potência dissipada $ P $ é:
I
Vamos precisar dessas fórmulas para relacionar as grandezas antes e depois das mudanças.

Passo 3

Vamos chamar as variáveis após as mudanças de $ V’ $, $ L’ $, $ A’ $, $ I’ $, e $ P’ $. Segundo o enunciado:
V'
Além disso, a massa específica $ \sigma $ do fio permanece a mesma. A massa de um fio é dada por:
L' ó
Como a massa permanece, temos:
A'

Passo 4

Vamos relacionar as resistências antes e depois. Sabemos que:
I = V Arho L e I' = V' A'rho L'
Como $ I’ = 4I $, substituindo:
I' = 4I

Passo 5

Agora, vamos relacionar as potências. Temos:
P' = V'^2 A'rho L' = 30 V^2 Arho L
Simplificando:
V'^2 A'L' = 30 V^2 AL

Passo 6

Vamos usar a relação da massa para conectar $ A’ $ e $ L’ $:
A'
Substituindo $ L’ $ nas equações anteriores.

Passo 7

Substituindo $ L’ $ na equação da corrente:
L'
Simplificando:
V' A'A LA' = 4 V AL implies V'A'^2A L = 4 V AL

Passo 8

Fazendo o mesmo para a potência:
V'^2 A'A LA' = 30 V^2 AL implies V'^2 A'^2A L = 30 V^2 AL
Simplificando:
V'^2 A'^2 = 30 V^2 A^2

Passo 9

Agora, temos duas equações:
V' A'^2 = 4 V A^2 e V'^2 A'^2 = 30 V^2 A^2
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ V’ $:

Passo 10

Agora que sabemos $ V’ = 7.5 V $, substituímos na primeira equação:
V' = 7.5 V
Tomando a raiz quadrada:
7.5 V A'^2 = 4 V A^2 implies A'^2 = 47.5 A^2 = 815 A^2

Resposta

A razão entre a nova seção reta e $ A $ é aproximadamente $ 0,7303 $.

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