Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A, comprimento L e resistividade
. Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 30,0 e a corrente seja multiplicada por 4,00. Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma, determine (b) a razão entre a nova seção reta e A.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio com certa área de seção reta $ A $, comprimento $ L $, e resistividade $ \rho $. Aplicamos uma diferença de potencial $ V $ nele, o que gera uma corrente e dissipa uma potência. Agora, queremos mudar o $ V $ e esticar o fio de modo que a potência dissipada seja 30 vezes maior e a corrente seja 4 vezes maior. A massa específica do fio permanece a mesma. Precisamos descobrir a relação entre a nova área de seção reta e a original $ A $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas fórmulas importantes. A resistência elétrica $ R $ de um fio é dada por:
A corrente $ I $ que passa pelo fio é:
E a potência dissipada $ P $ é:
Vamos precisar dessas fórmulas para relacionar as grandezas antes e depois das mudanças.
Passo 3
Vamos chamar as variáveis após as mudanças de $ V’ $, $ L’ $, $ A’ $, $ I’ $, e $ P’ $. Segundo o enunciado:
Além disso, a massa específica $ \sigma $ do fio permanece a mesma. A massa de um fio é dada por:
Como a massa permanece, temos:
Passo 4
Vamos relacionar as resistências antes e depois. Sabemos que:
Como $ I’ = 4I $, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as potências. Temos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos usar a relação da massa para conectar $ A’ $ e $ L’ $:
Substituindo $ L’ $ nas equações anteriores.
Passo 7
Substituindo $ L’ $ na equação da corrente:
Simplificando:
Passo 8
Fazendo o mesmo para a potência:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ V’ $:
Passo 10
Agora que sabemos $ V’ = 7.5 V $, substituímos na primeira equação:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
A razão entre a nova seção reta e $ A $ é aproximadamente $ 0,7303 $.