Um bastão fino de comprimento L e massa m está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular theta, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular omega. Sabendo que theta(t) é dado por:
theta(t)=a t^3+b t^2+c t+d, onde a, b, c e d são constantes, ã
b) A partir desse ponto, qual a altura alcançada pelo seu centro de massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está pendurado livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado até um certo ângulo $ \theta $ e oscila como um pêndulo. Quando passa pela posição mais baixa, ele tem uma velocidade angular $ \omega $. A função que descreve essa posição angular ao longo do tempo é:
L
Nosso objetivo aqui é descobrir qual a altura que o centro de massa do bastão alcança durante essa oscilação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o movimento do bastão. Quando ele oscila, a energia mecânica é trocada entre energia potencial e energia cinética. No ponto mais baixo da oscilação, a energia é completamente cinética, e no ponto mais alto, toda essa energia se transforma em potencial.

Passo 3

Vamos usar a conservação de energia para resolver isso. A energia cinética no ponto mais baixo será igual à energia potencial no ponto mais alto.
A energia cinética rotacional é dada por:
K = 12 I omega^2
Onde $ I $ é o momento de inércia do bastão.

Passo 4

Para um bastão fino pivotando em uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
I = 13 m L^2
Então, substituindo na fórmula da energia cinética:
K = 12 times 13 m L^2 omega^2 = 16 m L^2 omega^2

Passo 5

No ponto mais alto, toda essa energia cinética se converte em energia potencial gravitacional, que é:
U = m g h
Onde $ h $ é a altura que queremos encontrar.

Passo 6

Igualando as energias para conservar:
16 m L^2 omega^2 = m g h
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
m

Passo 7

Agora, isolamos $ h $ para encontrar a altura:
h

Resposta

A altura alcançada pelo centro de massa do bastão é:
h = L^2 omega^26 g

Exercícios relacionados