Um bastão fino de comprimento
e massa
está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular
, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular
. Sabendo que
é dado por:
b) A partir desse ponto, qual a altura alcançada pelo seu centro de massa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está pendurado livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado até um certo ângulo $ \theta $ e oscila como um pêndulo. Quando passa pela posição mais baixa, ele tem uma velocidade angular $ \omega $. A função que descreve essa posição angular ao longo do tempo é:
Nosso objetivo aqui é descobrir qual a altura que o centro de massa do bastão alcança durante essa oscilação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o movimento do bastão. Quando ele oscila, a energia mecânica é trocada entre energia potencial e energia cinética. No ponto mais baixo da oscilação, a energia é completamente cinética, e no ponto mais alto, toda essa energia se transforma em potencial.
Passo 3
Vamos usar a conservação de energia para resolver isso. A energia cinética no ponto mais baixo será igual à energia potencial no ponto mais alto.
A energia cinética rotacional é dada por:
Onde $ I $ é o momento de inércia do bastão.
Passo 4
Para um bastão fino pivotando em uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Então, substituindo na fórmula da energia cinética:
Passo 5
No ponto mais alto, toda essa energia cinética se converte em energia potencial gravitacional, que é:
Onde $ h $ é a altura que queremos encontrar.
Passo 6
Igualando as energias para conservar:
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, isolamos $ h $ para encontrar a altura:
Resposta
A altura alcançada pelo centro de massa do bastão é: