Um elétron é confinado numa caixa tridimensional de lados
e
. Se
, determine o comprimento de onda do fóton emitido durante a transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um elétron preso dentro de uma caixa tridimensional cujos lados têm comprimentos relacionados: $ L_2 = 2L_1 $ e $ L_3 = 4L_1 $, sendo $ L_1 = 0,10 $ nm. Nosso objetivo é encontrar o comprimento de onda do fóton que é emitido quando o elétron passa do primeiro estado excitado para o estado fundamental.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, especificamente a partícula em uma caixa. Precisaremos entender como calcular os níveis de energia do elétron nesses estados e, a partir daí, determinar a energia do fóton emitido, que depois converteremos para o comprimento de onda usando a relação entre energia e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para uma partícula confinada em uma caixa tridimensional com lados de comprimentos diferentes, os níveis de energia são dados por:
Onde:
- $ n_x, n_y, n_z $ são os números quânticos (valem 1, 2, 3, …)
- $ L_x, L_y, L_z $ são os comprimentos dos lados da caixa
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $)
- $ m $ é a massa do elétron
No estado fundamental, os números quânticos são $ n_x = 1 $, $ n_y = 1 $, $ n_z = 1 $. O primeiro estado excitado será aquele com o menor aumento possível em um dos números quânticos, mantendo os outros iguais. Vamos identificar qual será esse estado.
Passo 3
Dado que $ L_2 = 2L_1 $ e $ L_3 = 4L_1 $, substituímos esses valores na expressão dos níveis de energia. O estado fundamental tem energia:
O primeiro estado excitado será aquele onde apenas um dos números quânticos aumenta para 2, por exemplo, $ E_{2,1,1} $, $ E_{1,2,1} $ ou $ E_{1,1,2} $. Precisamos calcular qual desses tem a menor energia adicional em relação ao estado fundamental.
Passo 4
Calculando as energias:
Para $ E_{2,1,1} $:
Para $ E_{1,2,1} $:
Para $ E_{1,1,2} $:
O menor aumento de energia ocorre em $ E_{1,1,2} $, então esse é o primeiro estado excitado.
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de energia entre o primeiro estado excitado $ E_{1,1,2} $ e o estado fundamental $ E_{1,1,1} $:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
- $ L_1 = 0,10 $ nm = $ 0,10 \times 10^{-9} $ m
- Massa do elétron $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
- Constante de Planck $ h = 6,626 \times 10^{-34} $ J·s
- $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $
Passo 6
Calculando $ \Delta E $:
Primeiro, calculamos $ \hbar $:
Agora, substituímos na expressão de $ \Delta E $:
Calculando os termos:
Passo 7
Agora, para encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ do fóton emitido, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
Substituindo os valores:
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido durante a transição é aproximadamente 196 nm.