Um diferenciador utiliza um amplificador operacional ideal, um resistor de 10 \mathrm{k} \Omega e um capacitor de 0,01 \mu F. Qual é a frequência f_{0} (em Hz) na qual os sinais senoidais de entrada e saída têm a mesma magnitude? Qual é o sinal de saída para uma entrada senoidal de 1 V pico a pico com frequência igual a 10 f_{0} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedidos:
    1. Determinar a frequência f_{0} (em Hz) na qual os sinais senoidais de entrada e saída têm a mesma magnitude.
    2. Determinar o sinal de saída quando a entrada é uma senóide de 1\\ \mathrm{V_{pp}} com frequência f = 10 f_{0}.
  • Dados fornecidos:
    • Resistor R = 10\\ \mathrm{k}\Omega.
    • Capacitor C = 0,01\\ \mu\mathrm{F}.
Vou usar exatamente esses valores e trabalhar com notação de senóide padrão (amplitude pico V_p, pico-a-pico V_{pp}, frequência f e pulsação \omega=2\pi f).

Passo 2

Entendendo o diferenciador ideal e a sua função de transferência:
  • Um diferenciador ideal com amplificador operacional implementado com R e C (configuração clássica) realiza matematicamente
v_{\text{out}}(t) = -R C\,\frac{d}{dt} v_{\text{in}}(t).
Aqui R e C são os componentes dados; a expressão significa que a saída é proporcional à derivada da entrada, com ganho estático RC e um sinal invertido.
  • No domínio de frequência (substituindo \dfrac{d}{dt} por j\omega), a função de transferência é
H(j\omega)=\frac{V_{\text{out}}(j\omega)}{V_{\text{in}}(j\omega)}=-j\omega R C.
Explicando símbolos:
  • \omega é a pulsação angular ( \omega=2\pi f);
  • j é a unidade imaginária;
  • RC é o produto dos componentes (tem dimensão de tempo).
  • Magnitude e fase dessa função de transferência:
    |H(j\omega)|=\omega R C, \qquad \angle H(j\omega)=-\frac{\pi}{2}\\ \text{(ou }-90^\circ\text{)}.
    Ou seja, o módulo cresce linearmente com \omega e a saída tem um deslocamento de fase de -90^\circ (a saída “atrasa” em 90^\circ em relação à entrada).

Passo 3

Determinar a frequência f_{0} onde entrada e saída têm a mesma magnitude:
  • A condição “mesma magnitude” é |H(j\omega_0)|=1. Usando |H(j\omega)|=\omega R C obtemos
\omega_0 R C = 1 \quad\Rightarrow\quad \omega_0=\frac{1}{R C}.
  • A relação entre \omega_0 e f_0 é \omega_0=2\pi f_0. Portanto
f_0=\frac{1}{2\pi R C}.

Passo 4

Calcular numericamente f_0 com os valores dados (fazer passo a passo de conversão de unidades):
  • Converter o capacitor para farads: C = 0,01\\ \mu\mathrm{F}=0,01\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
  • Converter o resistor para ohms: R = 10\\ \mathrm{k}\Omega = 10\times10^{3}\\ \Omega = 10^{4}\\ \Omega.
  • Calcular R C: R C = 10^{4}\cdot 1\times10^{-8} = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
  • Calcular \omega_0 e f_0: \omega_0=\frac{1}{R C}=\frac{1}{1\times10^{-4}}=1\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s},
f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1\times10^{4}}{2\pi}\approx 1,59155\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 1591,55\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Encontrar o sinal de saída para entrada senoidal 1\\ \mathrm{V_{pp}} a f=10 f_0:
  • Primeiro, relação de ganho em f=10 f_0. Como |H(j\omega)|=\omega R C e \omega_0=\dfrac{1}{RC}, para \omega=10\omega_0 temos
    |H(j\omega)|=\omega R C = 10\omega_0 R C = 10.
    Então o módulo do ganho é 10 nessa frequência.
  • Converter a entrada 1\\ \mathrm{V_{pp}} para amplitude de pico:
    V_{pp,\text{in}}=1\\ \mathrm{V}\quad\Rightarrow\quad V_{p,\text{in}}=\frac{V_{pp,\text{in}}}{2}=0,5\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude de pico da saída:
    V_{p,\text{out}} = |H|\,V_{p,\text{in}} = 10\cdot 0,5 = 5\\ \mathrm{V}.
    Logo pico-a-pico da saída:
    V_{pp,\text{out}} = 2 V_{p,\text{out}} = 10\\ \mathrm{V}.
  • Fase: \angle H = -\dfrac{\pi}{2}. Isso significa que a saída atrasa 90^\circ em relação à entrada senoidal. Se a entrada for escrita como
    v_{\text{in}}(t)=0,5\cos(2\pi f t)\\ \mathrm{V},
    com f=10 f_0, a saída será
    v_{\text{out}}(t)=5\cos\!\bigl(2\pi f t - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{V}.
    Observação: usando identidade trigonométrica, \cos(2\pi f t - \tfrac{\pi}{2})=\sin(2\pi f t), então também se pode escrever
    v_{\text{out}}(t)=5\sin(2\pi f t)\\ \mathrm{V},\qquad f=10 f_0.

Resposta

f_0\approx1591,55\\ \mathrm{Hz}
v_{\text{out}}(t)=5\cos\!\bigl(2\pi(10 f_0)\,t - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{V} \quad (ou v_{\text{out}}(t)=5\sin(2\pi(10 f_0)\,t)\\ \mathrm{V}); \;V_{pp,\text{out}}=10\\ \mathrm{V}

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