Um diferenciador utiliza um amplificador operacional ideal, um resistor de
e um capacitor de
. Qual é a frequência
(em Hz) na qual os sinais senoidais de entrada e saída têm a mesma magnitude? Qual é o sinal de saída para uma entrada senoidal de 1 V pico a pico com frequência igual a
?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
-
Pedidos:
- Determinar a frequência
(em Hz) na qual os sinais senoidais de entrada e saída têm a mesma magnitude. - Determinar o sinal de saída quando a entrada é uma senóide de
com frequência .
- Determinar a frequência
-
Dados fornecidos:
- Resistor
. - Capacitor
.
- Resistor
Vou usar exatamente esses valores e trabalhar com notação de senóide padrão (amplitude pico
, pico-a-pico
, frequência
e pulsação
).
Passo 2
Entendendo o diferenciador ideal e a sua função de transferência:
- Um diferenciador ideal com amplificador operacional implementado com
e (configuração clássica) realiza matematicamente
Aqui
e
são os componentes dados; a expressão significa que a saída é proporcional à derivada da entrada, com ganho estático
e um sinal invertido.
- No domínio de frequência (substituindo
por ), a função de transferência é
Explicando símbolos:
-
é a pulsação angular ( ); -
é a unidade imaginária; -
é o produto dos componentes (tem dimensão de tempo). -
Magnitude e fase dessa função de transferência:Ou seja, o módulo cresce linearmente com
e a saída tem um deslocamento de fase de (a saída “atrasa” em em relação à entrada).
Passo 3
Determinar a frequência
onde entrada e saída têm a mesma magnitude:
- A condição “mesma magnitude” é
. Usando obtemos
- A relação entre
e é . Portanto
Passo 4
Calcular numericamente
com os valores dados (fazer passo a passo de conversão de unidades):
- Converter o capacitor para farads:
- Converter o resistor para ohms:
- Calcular
: - Calcular
e :
Passo 5
Encontrar o sinal de saída para entrada senoidal
a
:
-
Primeiro, relação de ganho em
. Como e , para temos Então o módulo do ganho énessa frequência. -
Converter a entrada
para amplitude de pico: -
Amplitude de pico da saída:Logo pico-a-pico da saída:
-
Fase:
. Isso significa que a saída atrasa em relação à entrada senoidal. Se a entrada for escrita como com, a saída será Observação: usando identidade trigonométrica,, então também se pode escrever