Um integrador de Miller incorpora um amplificador operacional ideal, um resistor
de
e um capacitor
de
. Um sinal senoidal é aplicado à sua entrada.
(a) Em que frequência (em Hz) os sinais de entrada e saída têm a mesma amplitude?
(b) Nessa frequência, como a fase da onda senoidal de saída se relaciona com a da entrada?
(c) Se a frequência for reduzida por um fator de 10 em relação à encontrada em (a), por qual fator a tensão de saída muda, e em que direção (menor ou maior)?
(a) Em que frequência (em Hz) os sinais de entrada e saída têm a mesma amplitude?
(b) Nessa frequência, como a fase da onda senoidal de saída se relaciona com a da entrada?
(c) Se a frequência for reduzida por um fator de 10 em relação à encontrada em (a), por qual fator a tensão de saída muda, e em que direção (menor ou maior)?
Passo 1
O enunciado dá um integrador de Miller com um amplificador operacional ideal, um resistor
e um capacitor
, e pergunta três coisas. Dados numéricos fornecidos:
-
(ou seja, ); -
(ou seja, ); - um sinal senoidal é aplicado na entrada.
O enunciado pede:
(a) a frequência (em Hz) na qual as amplitudes da entrada e da saída são iguais;
(b) nessa mesma frequência, como a fase da saída se relaciona com a da entrada;
(c) se a frequência for reduzida por um fator em relação à encontrada em (a), por qual fator a tensão de saída muda e em que direção (fica menor ou maior).
(a) a frequência (em Hz) na qual as amplitudes da entrada e da saída são iguais;
(b) nessa mesma frequência, como a fase da saída se relaciona com a da entrada;
(c) se a frequência for reduzida por um fator
Passo 2
Obter a função de transferência do integrador (forma contínua ideal). Para o integrador inverting ideal (topologia típica de Miller) vale a relação entre tensões:
Explicando por que: no nó inversor o potencial virtual é
(amplificador ideal com entrada não inversora aterrada), a corrente que vem da fonte é
(com sinal apropriado na KCL aparece um sinal negativo) e a corrente no capacitor é
. Aplicando KCL obtém-se
, que reescrito dá
. Integrando no tempo surge a fórmula acima.
Em domínio de Laplace (ou usando
para diferencial), a função de transferência é
Aqui
é a variável complexa de Laplace; para sinais senoidais estacionários usaremos
, onde
é a pulsação.
Passo 3
Passar para resposta em regime senoidal (análise em fasores). Substituindo
na função de transferência:
Isolar magnitude e fase: escrevendo a parte complexa explicitamente, note que
. Portanto
Como
, tem-se
. Então
Daqui a magnitude e a fase são imediatas:
Explicando em palavras: o fator
representa um avanço de
(a saída adianta a entrada em
). A magnitude é inversamente proporcional a
: quando
cresce a amplitude da saída diminui como
.
Passo 4
Resolver (a): procura-se a frequência
tal que as amplitudes de entrada e saída sejam iguais, isto é,
. Usando a expressão da magnitude:
Passando para frequência em hertz:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcular
:
Então
Fazendo a conta numérica (usar
):
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Responder (b): como visto no Passo 3, a fase da função de transferência é constante e igual a
para toda frequência (na idealização). Portanto, nessa frequência específica a saída adianta a entrada em
. Em termos práticos: se a entrada é
, a saída será proporcional a
(com a amplitude dada por
).
Passo 6
Responder (c): se a frequência é reduzida por um fator
, isto é,
, a nova pulsação é
. A magnitude escala como
Na frequência de referência de (a) tínhamos
, então na frequência
a magnitude passa a ser
. Conclusão: a tensão de saída aumenta por um fator
(fica maior em 10 vezes) quando a frequência é reduzida em 10 vezes. Em decibéis isso corresponde a um ganho adicional de
por década (comportamento típico de integrador: inclinação de
ao aumentar a frequência, ou dito de outro modo,
ao reduzir a frequência).
Resposta
(a)
(b) A saída adianta a entrada em
(fase de
).
(c) A amplitude da saída aumenta por um fator
(fica maior, 10 vezes maior).