Um integrador de Miller incorpora um amplificador operacional ideal, um resistor R de 100 k \Omega e um capacitor C de 1 n F. Um sinal senoidal é aplicado à sua entrada.
(a) Em que frequência (em Hz) os sinais de entrada e saída têm a mesma amplitude?
(b) Nessa frequência, como a fase da onda senoidal de saída se relaciona com a da entrada?
(c) Se a frequência for reduzida por um fator de 10 em relação à encontrada em (a), por qual fator a tensão de saída muda, e em que direção (menor ou maior)?

Passo 1

O enunciado dá um integrador de Miller com um amplificador operacional ideal, um resistor R e um capacitor C, e pergunta três coisas. Dados numéricos fornecidos:
  • R=100\\ \text{k}\Omega (ou seja, R=100\times10^{3}\\ \Omega);
  • C=1\\ \text{nF} (ou seja, C=1\times10^{-9}\\ \text{F});
  • um sinal senoidal é aplicado na entrada.
O enunciado pede:
(a) a frequência (em Hz) na qual as amplitudes da entrada e da saída são iguais;
(b) nessa mesma frequência, como a fase da saída se relaciona com a da entrada;
(c) se a frequência for reduzida por um fator 10 em relação à encontrada em (a), por qual fator a tensão de saída muda e em que direção (fica menor ou maior).

Passo 2

Obter a função de transferência do integrador (forma contínua ideal). Para o integrador inverting ideal (topologia típica de Miller) vale a relação entre tensões:
V_{\text{out}}(t)=-\frac{1}{RC}\int V_{\text{in}}(t)\,dt.
Explicando por que: no nó inversor o potencial virtual é 0 (amplificador ideal com entrada não inversora aterrada), a corrente que vem da fonte é \dfrac{V_{\text{in}}-0}{R}=\dfrac{V_{\text{in}}}{R} (com sinal apropriado na KCL aparece um sinal negativo) e a corrente no capacitor é C\,\dfrac{d}{dt}(0-V_{\text{out}})=-C\,\dfrac{dV_{\text{out}}}{dt}. Aplicando KCL obtém-se -\dfrac{V_{\text{in}}}{R}-C\,\dfrac{dV_{\text{out}}}{dt}=0, que reescrito dá \dfrac{dV_{\text{out}}}{dt}=-\dfrac{1}{RC}V_{\text{in}}. Integrando no tempo surge a fórmula acima.
Em domínio de Laplace (ou usando s para diferencial), a função de transferência é
H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=-\frac{1}{R C s}.
Aqui s é a variável complexa de Laplace; para sinais senoidais estacionários usaremos s=j\omega, onde \omega=2\pi f é a pulsação.

Passo 3

Passar para resposta em regime senoidal (análise em fasores). Substituindo s=j\omega na função de transferência:
H(j\omega)=-\frac{1}{R C j\omega}.
Isolar magnitude e fase: escrevendo a parte complexa explicitamente, note que \dfrac{1}{j}=-j. Portanto
H(j\omega)=-\frac{1}{j}\cdot\frac{1}{RC\omega}=\left(-\frac{1}{j}\right)\frac{1}{RC\omega}.
Como 1/j=-j, tem-se -1/j = -(-j)=j. Então
H(j\omega)=\frac{j}{RC\omega}.
Daqui a magnitude e a fase são imediatas:
|H(j\omega)|=\frac{1}{RC\omega}, \qquad \angle H(j\omega)=+90^\circ.
Explicando em palavras: o fator j representa um avanço de 90^\circ (a saída adianta a entrada em 90^\circ). A magnitude é inversamente proporcional a \omega: quando \omega cresce a amplitude da saída diminui como 1/\omega.

Passo 4

Resolver (a): procura-se a frequência f tal que as amplitudes de entrada e saída sejam iguais, isto é, |H(j\omega)|=1. Usando a expressão da magnitude:
\frac{1}{RC\omega}=1 \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{1}{RC}.
Passando para frequência em hertz:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi R C}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcular RC:
RC=(100\times10^{3})(1\times10^{-9})=100\times10^{-6}=1\times10^{-4}\\ \text{s}.
Então
f=\frac{1}{2\pi (1\times10^{-4})}=\frac{1}{2\pi\times10^{-4}}.
Fazendo a conta numérica (usar 2\pi\approx6{,}283185):
f\approx\frac{1}{6{,}283185\times10^{-4}}\approx1{,}591549\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando razoavelmente:
f\approx1{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}\quad(\text{ou }1590\\ \text{a }1592\\ \mathrm{Hz}).

Passo 5

Responder (b): como visto no Passo 3, a fase da função de transferência é constante e igual a +90^\circ para toda frequência (na idealização). Portanto, nessa frequência específica a saída adianta a entrada em 90^\circ. Em termos práticos: se a entrada é \sin(\omega t), a saída será proporcional a \sin(\omega t+90^\circ)=\cos(\omega t) (com a amplitude dada por |H|).

Passo 6

Responder (c): se a frequência é reduzida por um fator 10, isto é, f'=\dfrac{f}{10}, a nova pulsação é \omega'=\dfrac{\omega}{10}. A magnitude escala como
|H(j\omega')|=\frac{1}{RC\omega'}=\frac{1}{RC(\omega/10)}=\;10\cdot\frac{1}{RC\omega}=10\cdot|H(j\omega)|.
Na frequência de referência de (a) tínhamos |H(j\omega)|=1, então na frequência f/10 a magnitude passa a ser 10. Conclusão: a tensão de saída aumenta por um fator 10 (fica maior em 10 vezes) quando a frequência é reduzida em 10 vezes. Em decibéis isso corresponde a um ganho adicional de 20\\ \text{dB} por década (comportamento típico de integrador: inclinação de -20\\ \text{dB}/\text{dec} ao aumentar a frequência, ou dito de outro modo, +20\\ \text{dB}/\text{dec} ao reduzir a frequência).

Resposta

(a) f=\dfrac{1}{2\pi R C}\approx1{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}
(b) A saída adianta a entrada em +90^\circ (fase de +90^\circ).
(c) A amplitude da saída aumenta por um fator 10 (fica maior, 10 vezes maior).

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