Medições do ganho em malha aberta de um amplificador operacional compensado, destinado a operação em alta frequência, indicam que o ganho é 5,1 \times 10^{3} a 100 kHz e 8,3 \times 10^{3} a 10 kHz .
Estime a frequência de corte de 3 dB , a frequência de ganho unitário, e o ganho em corrente contínua (dc). (Dica: perceba que apesar do intervalo de frequências ser de uma década, a queda não é de 20 dB )

Passo 1

O enunciado nos dá as medições do ganho em malha aberta do amplificador compensado em duas frequências e pede três quantidades. Dados fornecidos:
  • Ganho em malha aberta em f_1=10\\ \text{kHz}: A_1 = 8{,}3\times10^{3}.
  • Ganho em malha aberta em f_2=100\\ \text{kHz}: A_2 = 5{,}1\times10^{3}.
O que o enunciado pede:
  • Estimar a frequência de corte de 3\\ \text{dB} (ou seja, f_c, onde o ganho caiu a 1/\sqrt{2} do ganho em dc).
  • Estimar a frequência de ganho unitário (unity-gain frequency) f_t.
  • Estimar o ganho em corrente contínua (ganho dc) A_{DC}.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (explicação didática rápida). Para amplificadores operacionais compensados é comum assumir um modelo de pólo único (pólo dominante): o ganho em malha aberta como função da frequência pode ser aproximado por
|A(jf)|=\frac{A_{DC}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_c}\right)^{2}}},
onde:
  • A_{DC} é o ganho em corrente contínua (ganho em baixas frequências),
  • f_c é a frequência de corte de -3\\ \text{dB} (frequência do pólo dominante),
  • f é a frequência em Hz.
Por que esse modelo? Um amplificador compensado tem um pólo dominante que determina a queda do ganho. Se estivéssemos muito acima desse pólo veríamos uma queda de -20\\ \text{dB/dec} (fator 10 por década). O enunciado avisa que a queda entre 10 kHz e 100 kHz não é 20 dB, ou seja, estamos na região de transição do pólo (nem totalmente abaixo nem totalmente acima). O modelo de pólo único é o mais simples e adequado para estimar f_c e A_{DC} a partir de duas medições.

Passo 3

Escrever as equações para as duas medições usando o modelo de pólo único:
A_1=\frac{A_{DC}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f_1}{f_c}\right)^{2}}},\qquad A_2=\frac{A_{DC}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f_2}{f_c}\right)^{2}}}.
Estas são duas equações com duas incógnitas ( A_{DC} e f_c).

Passo 4

Eliminar A_{DC} dividindo as equações (passo algébrico). Fazendo a razão A_1/A_2 temos
\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{2}=\frac{1+\left(\dfrac{f_2}{f_c}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{f_1}{f_c}\right)^{2}}.
Defina r=\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^{2}. Reescrevendo e resolvendo para f_c^{2}:
r\left(1+\frac{f_1^{2}}{f_c^{2}}\right)=1+\frac{f_2^{2}}{f_c^{2}}
\Rightarrow \; (r f_1^{2}-f_2^{2})\frac{1}{f_c^{2}}=1-r
\Rightarrow \; \frac{1}{f_c^{2}}=\frac{1-r}{r f_1^{2}-f_2^{2}}.
Essa expressão permite calcular f_c a partir de f_1,f_2,A_1,A_2.

Passo 5

Cálculos numéricos para f_c.
Calcule r:
r=\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{2} =\left(\frac{8{,}3\times10^{3}}{5{,}1\times10^{3}}\right)^{2} =\left(\frac{83}{51}\right)^{2} \approx 2{,}648964.
Agora use f_1=10{,}000\\ \text{Hz} e f_2=100{,}000\\ \text{Hz}. Então
\frac{1}{f_c^{2}}=\frac{1-r}{r f_1^{2}-f_2^{2}} =\frac{1-2{,}648964}{2{,}648964\cdot(10{,}000)^{2}-(100{,}000)^{2}}.
Calculando numericamente:
\frac{1}{f_c^{2}}\approx 1{,}6937\times10^{-10}\quad\Rightarrow\quad f_c \approx \sqrt{\frac{1}{1{,}6937\times10^{-10}}}\approx 7{,}69\times10^{4}\\ \text{Hz}.
Portanto a frequência de corte de -3\\ \text{dB} é aproximadamente f_c\approx 7,69\times10^{4}\\ \text{Hz} (ou 76{,}9\\ \text{kHz}).

Passo 6

Calcular o ganho em dc A_{DC}. Use uma das medições, por exemplo A_1:
A_{DC}=A_1\sqrt{1+\left(\frac{f_1}{f_c}\right)^{2}}.
Substituindo números:
\left(\frac{f_1}{f_c}\right)^{2}=\left(\frac{10{,}000}{76{,}900}\right)^{2}\approx 0{,}01694,
A_{DC}\approx 8{,}3\times10^{3}\cdot\sqrt{1+0{,}01694}\approx 8{,}3\times10^{3}\cdot1{,}00845\approx 8{,}37\times10^{3}.
Logo A_{DC}\approx 8{,}37\times10^{3}.

Passo 7

Calcular a frequência de ganho unitário f_t (unity-gain frequency). Para um pólo único vale o produto ganho-bandwidth (GBW):
f_t = A_{DC}\cdot f_c.
Substituindo os valores calculados:
f_t \approx 8{,}37\times10^{3}\cdot 7{,}69\times10^{4}\\ \text{Hz} \approx 6{,}43\times10^{8}\\ \text{Hz}.
Ou seja, f_t\approx 6{,}43\times10^{8}\\ \text{Hz} (aprox. 643\\ \text{MHz}).

Passo 8

Resumo e interpretação curta (para a prova): a modelagem por um pólo dominante permitiu usar duas medições para encontrar f_c e A_{DC}. Os valores obtidos estão coerentes com o fato de que entre 10 kHz e 100 kHz o ganho caiu pouco (estamos na região de transição do pólo, não muito abaixo nem muito acima dele). Força aí — com esse procedimento você resolve problemas parecidos na prova: escreva o modelo do pólo único, monte as duas equações, elimine A_{DC}, resolva para f_c, depois calcule A_{DC} e f_t.

Resposta

f_c \approx 7{,}69\times10^{4}\\ \text{Hz} \quad(76{,}9\\ \text{kHz})
f_t \approx 6{,}43\times10^{8}\\ \text{Hz} \quad(643\\ \text{MHz})
A_{DC} \approx 8{,}37\times10^{3}

Exercícios relacionados