Se f é diferenciável em a, seja d(x)=f(x)-f^prime(a)(x-a)-f(a). Encontre d^prime(a). Em conexão com a questão anterior, isto fornece outra solução para a questão 14.

Passo 1

O enunciado define a função
d(x) = f(x) - f'(a),(x - a) - f(a)
e pede d'(a). Estamos usando regras de derivação (derivada de soma, derivada de constante e derivada de xmapsto x-a).

Passo 2

Derivando termo a termo, temos
d'(x) = ddxl[f(x)r] ;-; f'(a),ddx(x-a) ;-;ddxl[f(a)r]
Como ddx[f(x)]=f'(x), ddx(x-a)=1 e ddx[f(a)]=0, segue
d'(x)=f'(x)-f'(a)

Passo 3

Para x=a obtemos
d'(a)=f'(a)-f'(a)=0

Resposta

d'(a)=0.

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