Na notação de Leibniz, a Regra da Cadeia deveria ser lida:
d f(g(x))d x=d f(y)d y|y=g(x) cdot d g(x)d x
Em vez disso, geralmente se encontra a seguinte afirmação:
“Seja y=g(x) e z=f(y). Então, d zd x=d zd y cdot d yd x.”
Note que o z em d z / d x denota a função composta f circ g, enquanto o z em d z / d y denota a função f; também se entende que d z / d y será "uma expressão envolvendo y ", e que na resposta final g(x) deve ser substituído por y. Em cada um dos seguintes casos, encontre d z / d x usando esta fórmula; então compare com a questão 23 .
z=sin y, y=x+x^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos z=sin y e y=x+x^2, e o conteúdo é a Regra da Cadeia na notação de Leibniz. Queremos calcular dzdx usando a fórmula
dzdx ;=;dzdy;cdot;dydx

Passo 2

Para achar dzdy, diferenciamos z=sin y em relação a y. Como a derivada de sin y é cos y, temos
dzdy = cos y

Passo 3

Para achar dydx, diferenciamos y=x+x^2 em relação a x. A derivada de x é 1 e a de x^2 é 2x, logo
dydx = 1 + 2x

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia:
dzdx = dzdy;cdot;dydx = cos y;l(1 + 2xr)
Por fim, substituímos y = x + x^2 para expressar tudo em função de x:
dzdx = l(1 + 2xr),cosl(x + x^2r)

Passo 5

Comparando com a questão 23, onde se derivou diretamente sin(x + x^2), vemos que o resultado coincide:
ddxl[sin(x + x^2)r] = (1 + 2x)cos(x + x^2)
Isso confirma que a aplicação da Regra da Cadeia em notação de Leibniz e a derivação direta fornecem o mesmo resultado.

Resposta

dzdx = (1 + 2x)cos(x + x^2)

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