(a) Em que direção um bote em
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente?
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?
55. Em que direção a derivada direcional de
no ponto
é zero?
56. Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor normal à superfície
no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor
.
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?
55. Em que direção a derivada direcional de
56. Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado trata de derivadas direcionais e usa o gradiente para encontrar direções de máximo decrescimento e direções de nível. Para cada função
, vamos calcular
e então:
- a direção de decrescimento mais rápido é
; - as direções de nível são as vetores ortogonais a
; - a derivada direcional em direção a um vetor unitário
é .
Passo 2
Nos itens (a) e (b) falta a função que modela a profundidade em
. Sem essa função não há como calcular
nem determinar as direções pedidas.
Passo 3
Para o exercício 55,
função .
Calculamos o gradiente por regra do quociente:
função
Calculamos o gradiente por regra do quociente:
Em
isso dá
Queremos direções
tais que
, i.e.
Portanto qualquer vetor paralelo a
anula a derivada direcional.
Passo 4
No exercício 56,
.
então em
A superfície é
, equivalente a
. Um normal é
Para que o ângulo com
seja agudo precisamos de
. Com
temos
, logo usamos
.
A derivada direcional é
A derivada direcional é
Resposta
(a) Impossível resolver: falta a função profundidade
.
(b) Impossível resolver: falta a função profundidade .
55. Qualquer direção paralela a , por exemplo o vetor unitário
.
56.
(b) Impossível resolver: falta a função profundidade
55. Qualquer direção paralela a
56.