(a) Em que direção um bote em P=(4,9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente?
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?
55. Em que direção a derivada direcional de f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2 no ponto (1,1) é zero?
56. Calcule a derivada direcional de f(x, y, z)=6 x^2-3 y^2-4 z^2 no ponto (2,1,1) e na direção do vetor normal à superfície z=raiz6-x^2-y^2 no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor v=4 i-3 j-7 k.

Passo 1

O enunciado trata de derivadas direcionais e usa o gradiente para encontrar direções de máximo decrescimento e direções de nível. Para cada função f, vamos calcular nabla f e então:
  • a direção de decrescimento mais rápido é -nabla f;
  • as direções de nível são as vetores ortogonais a nabla f;
  • a derivada direcional em direção a um vetor unitário u é nabla fcdot u.

Passo 2

Nos itens (a) e (b) falta a função que modela a profundidade em (x,y). Sem essa função não há como calcular nabla f(4,9) nem determinar as direções pedidas.

Passo 3

Para o exercício 55,
função f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2.
Calculamos o gradiente por regra do quociente:
fx=4x y^2(x^2+y^2)^2, fy=-4x^2y(x^2+y^2)^2
Em (1,1) isso dá
nabla f(1,1)=(1,,-1)
Queremos direções u=(a,b) tais que nabla f(1,1)cdot u=0, i.e.
1cdot a +(-1)cdot b=0Longrightarrow a=b
Portanto qualquer vetor paralelo a (1,1) anula a derivada direcional.

Passo 4

No exercício 56,
f(x,y,z)=6x^2-3y^2-4z^2.
nabla f=(12x,,-6y,,-8z),
então em (2,1,1)
nabla f(2,1,1)=(24,,-6,,-8)
A superfície é z=raiz6-x^2-y^2, equivalente a F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-6=0. Um normal é
nabla F=(2x,2y,2z)Longrightarrow (4,2,2) em (2,1,1)
Para que o ângulo com v=(4,-3,-7) seja agudo precisamos de (ncdot v)>0. Com n=(4,2,2) temos ncdot v=-4<0, logo usamos n=(-4,-2,-2).
A derivada direcional é
Dn f =nabla fcdot n|n| =(24,-6,-8)cdot(-4,-2,-2)raiz4^2+2^2+2^2 =-682raiz6 =-34raiz6 =-17raiz63

Resposta

(a) Impossível resolver: falta a função profundidade f(x,y).
(b) Impossível resolver: falta a função profundidade f(x,y).
55. Qualquer direção paralela a (1,1), por exemplo o vetor unitário l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).
56. Dn f=-34raiz6=-17raiz63

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