Diferencie cada função abaixo:
f(u)=(u^-2+u^-3)(u^5-2 u^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(u)=l(u^-2+u^-3r),l(u^5-2u^2r)
Aqui vamos usar a técnica de expansão (multiplicar e depois derivar termo a termo) combinada com a regra do expoente (power rule).

Passo 2

Primeiro expandimos o produto para escrever f(u) como soma de potências de u:
u^-2cdot u^5=u^3, u^-2cdot(-2u^2)=-2u^0=-2,
u^-3cdot u^5=u^2, u^-3cdot(-2u^2)=-2u^-1
Logo,
f(u)=u^3+u^2-2-2u^-1

Passo 3

Agora aplicamos a regra do expoente em cada termo:
– Para u^3,
ddu,u^3=3u^2
– Para u^2,
ddu,u^2=2u
– Para -2,
ddu(-2)=0
– Para -2u^-1,
ddul(-2u^-1r)=-2cdot(-1)u^-2=2u^-2

Passo 4

Somando todas as derivadas parciais, obtemos
f'(u)=3u^2+2u+0+2u^-2=3u^2+2u+2u^-2

Resposta

f'(u)=3u^2+2u+2u^-2

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