Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left(
\right) x
$x^{\prime}=\left(
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente encontrar a solução geral do sistema de EDOs
6pt]3 & -4\end{pmatrix}.$$
Isso cai em “sistemas lineares de primeira ordem” e vamos precisar de:
1) polinômio característico de (usando determinante),
2) achar autovalores ,
3) achar autovetores correspondentes,
4) montar a solução geral como combinação linear de vezes cada autovetor.
Isso cai em “sistemas lineares de primeira ordem” e vamos precisar de:
1) polinômio característico de
2) achar autovalores
3) achar autovetores correspondentes,
4) montar a solução geral como combinação linear de
Passo 2
Primeiro a gente monta o polinômio característico:
(1-\lambda)(-4-\lambda)+6
=-4 -\lambda +4\lambda +\lambda^2 +6
=\lambda^2+3\lambda+2.
=-4 -\lambda +4\lambda +\lambda^2 +6
=\lambda^2+3\lambda+2.
$$]
Passo 3
Resolvendo
:
Passo 4
Agora achamos os autovetores:
- Para
, resolvemos :
Daqui vem
, ou seja
. Podemos escolher
.
- Para
, resolvemos :
Isso dá
, logo
. Seçoleta
, bate
, então
.
Passo 5
Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias fixadas pelas condições iniciais.