Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( ll1 & -2 3 & -4\right) x

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente encontrar a solução geral do sistema de EDOs
6pt]3 & -4\end{pmatrix}.$$
Isso cai em “sistemas lineares de primeira ordem” e vamos precisar de:
1) polinômio característico de (usando determinante),
2) achar autovalores ,
3) achar autovetores correspondentes,
4) montar a solução geral como combinação linear de vezes cada autovetor.

Passo 2

Primeiro a gente monta o polinômio característico:
(1-\lambda)(-4-\lambda)+6
=-4 -\lambda +4\lambda +\lambda^2 +6
=\lambda^2+3\lambda+2.
$$]

Passo 3

Resolvendo lambda^2+3lambda+2=0:
lambda = -3pmraiz3^2-4cdot1cdot22 =-3pm12 ;Longrightarrow; lambda1=-1,;lambda2=-2

Passo 4

Agora achamos os autovetores:
  1. Para lambda1=-1, resolvemos (A+I)v=0:
A+I =1+1 & -23 & -4+1 =2 & -23 & -3
Daqui vem 2x-2y=0, ou seja x=y. Podemos escolher v1=(1,1)^T.
  1. Para lambda2=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
A+2I =1+2 & -23 & -4+2 =3 & -23 & -2
Isso dá 3x-2y=0, logo x=tfrac23y. Seçoleta y=3, bate x=2, então v2=(2,3)^T.

Passo 5

Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral é
x(t)=C1,e^lambda1 t,v1 + C2,e^lambda2 t,v2 =C1,e^-t11 +C2,e^-2t23,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias fixadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=C1,e^-t11 ;+; C2,e^-2t23

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