Diferencie e defina os conceitos de posição, direção e plano.

Passo 1

O enunciado pede para diferenciarmos e definirmos três conceitos básicos de geometria no espaço: posição, direção e plano. Isso envolve usar noções de vetores em \mathbb{R}^3, explicando como cada um desses objetos é caracterizado e de que forma eles se distinguem.

Passo 2

Definimos a posição de um ponto em \mathbb{R}^3 por meio do seu vetor posição. Se o ponto P tem coordenadas (x,y,z), o vetor posição de P em relação à origem O é
\mathbf{r} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}.
Esse vetor localiza exatamente onde o ponto está, mas não indica nenhum sentido ou orientação além de chegar a esse ponto.

Passo 3

A direção é dada por um vetor que indica sentido e orientação no espaço, sem apontar para um ponto fixo. Tomando um vetor qualquer \mathbf{v} = v_x\,\mathbf{i} + v_y\,\mathbf{j} + v_z\,\mathbf{k},
ele representa uma direção (e magnitude). Se só nos interessa o sentido, podemos usar o vetor unitário
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
que conserva a orientação mas tem norma igual a 1.

Passo 4

Um plano em \mathbb{R}^3 é um subconjunto bidimensional definido por uma equação linear. Dados um vetor normal \mathbf{n} = (a,b,c) e um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) nele, o plano é
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
Ou, escrevendo em forma geral,
ax + by + cz + d = 0,
onde d = -(a x_0 + b y_0 + c z_0).

Passo 5

Agora, para diferenciá-los:
– O vetor posição \mathbf{r} fixa um ponto no espaço em relação à origem;
– O vetor de direção \mathbf{v} indica apenas orientação e sentido, sem vincular-se a um ponto;
– O plano é um conjunto de infinitos pontos que satisfazem uma equação linear, caracterizado por sua normal \mathbf{n} e podendo ser descrito a partir de um ponto inicial.

Resposta

Posição: vetor \mathbf{r}=(x,y,z) que localiza um ponto em relação à origem.
Direção: vetor \mathbf{v} (ou normalizado \hat{\mathbf{v}}) que indica orientação e sentido no espaço, sem referência a um ponto.
Plano: superfície bidimensional em \mathbb{R}^3 dada por
ax + by + cz + d = 0,
controlada por seu vetor normal (a,b,c) e por um ponto sobre ele.

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