Diferencie a função f doda P_{0 r} :
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a função f dada por
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • A expressão def(x)éf(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}.
  • A função envolve raízes, então seu domínio natural éx\ge 0.
  • A tarefa é encontrarf'(x)(a derivada) e portanto saber para quaisxessa derivada existe.
]

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadas de um jeito simples):
\text{(a) Regra da soma: }(u+v)'=u'+v'.
\text{(b) Regra da cadeia: se }h(x)=g(u(x))\text{ então }h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).ã
\text{\text{(c)} Derivada da raiz: } \sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}\Rightarrow \frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Também usamos que a derivada de x^{1/2} é
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Essas fórmulas significam o seguinte na prática: para derivar uma raiz, trato a raiz como uma função externa g(t)=t^{1/2} e multiplico pela derivada do que está dentro da raiz (a parte interna).

Passo 3

Aplicando a regra da soma à função f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x+\sqrt{x}}\big)+\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).

Passo 4

Calculemos a derivada do segundo termo, que é mais simples:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
(Essa é a aplicação direta da regra do item (c) com u(x)=x.)

Passo 5

Agora a derivada do primeiro termo \sqrt{x+\sqrt{x}}. Definimos a parte interna
u(x)=x+\sqrt{x}.
Derivando u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Usando a regra da cadeia/derivada da raiz:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x+\sqrt{x}}\big)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 6

Simplificamos a expressão anterior para ficar mais manejável. Primeiro colocamos o numerador sobre um denominador comum:
1+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo na derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x+\sqrt{x}}\big)=\frac{\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 7

Agora somamos as duas parcelas (derivada do primeiro termo + derivada do segundo termo):
f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 8

Juntamos em um único quociente para uma forma mais compacta. O denominador comum escolhido é 4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}. A segunda parcela vira
\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
Somando os numeradores:
f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 9

Comentário sobre domínio da derivada: note que nas expressões aparecem \sqrt{x} no denominador. Isso exige x>0 para que a derivada seja finita e bem definida. Em x=0 a função f está definida, pois f(0)=0, mas a derivada não é finita em 0 (a derivada tende a infinito quando x\to 0^+), então f não é diferenciável em x=0.

Resposta

f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}},\quad x>0
Não é diferenciável em x=0.

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