Diferencie a função f doda
:
Passo 1
O enunciado pede para diferenciar a função
dada por
Informações relevantes que o enunciado deu:
- •A expressão def(x)éf(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}.
- •A função envolve raízes, então seu domínio natural éx\ge 0.
- •A tarefa é encontrarf'(x)(a derivada) e portanto saber para quaisxessa derivada existe.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadas de um jeito simples):
Também usamos que a derivada de
é
Essas fórmulas significam o seguinte na prática: para derivar uma raiz, trato a raiz como uma função externa
e multiplico pela derivada do que está dentro da raiz (a parte interna).
Passo 3
Aplicando a regra da soma à função
:
Passo 4
Calculemos a derivada do segundo termo, que é mais simples:
(Essa é a aplicação direta da regra do item (c) com
.)
Passo 5
Agora a derivada do primeiro termo
. Definimos a parte interna
Derivando
:
Usando a regra da cadeia/derivada da raiz:
Passo 6
Simplificamos a expressão anterior para ficar mais manejável. Primeiro colocamos o numerador sobre um denominador comum:
Substituindo na derivada do primeiro termo:
Passo 7
Agora somamos as duas parcelas (derivada do primeiro termo + derivada do segundo termo):
Passo 8
Juntamos em um único quociente para uma forma mais compacta. O denominador comum escolhido é
. A segunda parcela vira
Somando os numeradores:
Passo 9
Comentário sobre domínio da derivada: note que nas expressões aparecem
no denominador. Isso exige
para que a derivada seja finita e bem definida. Em
a função
está definida, pois
, mas a derivada não é finita em
(a derivada tende a infinito quando
), então
não é diferenciável em
.
Resposta
Não é diferenciável em
.