VALOR ATUAL DE UMA PERPETUIDADE. De acordo com o que foi estudado, para encontrar o Valor Atual de um investimento podemos usar o modelo
V A=\int_{0}^{T} f(t) e^{-r t} d t
onde f(t) representa o fluxo de renda contínua (em reais por ano) e a taxa de juros anual r é capitalizada continuamente por um período de T anos. Se o montante de pagamento de uma anuidade é um valor constante P, então f(t) é igual a P e o Valor Atual V A será dado por
V A=\int_{0}^{T} P e^{-r t} d t=P \int_{0}^{T} e^{-r t} d t
Suponha que você queira iniciar uma anuidade, como um fundo para bancar uma espécie de “aposentadoria”, que pague a mesma quantidade anualmente para sempre. Como a anuidade continuará indefinidamente, o número de anos T tende ao infinito. Essa anuidade é denominada anuidade perpétua, a qual pode ser representada pela seguinte integral imprópria:
V A_{\infty}=P \int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t
(a) Qual o valor da anuidade perpétua V A_{\infty} [em termos de P e r ]?
V A_{\infty}=
\square
(b) Volte ao item (a) da Questão 32 e calcule o valor da anuidade perpétua, considerando que a taxa de juros permaneça em 6 \% anual, mas o investimento retorne uma renda fixa de \mathrm{R} \ 24000,00$ “pra sempre”!
V A_{\infty}=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o valor atual da anuidade perpétua dada por
V A_{\infty}=P \int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t
onde P é o pagamento anual constante (em reais por ano) e r é a taxa de juros anual (capitalizada continuamente).
2. (b) Usar o resultado do item (a) para o caso numérico em que a taxa é 6\% ao ano e o pagamento permanente é de \mathrm{R}\$\;24\,000,00.
Informações relevantes dadas:
  • A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
  • O fluxo é constante: f(t)=P.
  • Para o item (b): r=6\%=0,06 e P=\mathrm{R}\$\;24\,000,00.

Passo 2

Entendendo a integral e como resolvê-la: precisamos calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t.
Uma integral imprópria com limite superior infinito é definida como um limite finito:
\int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t=\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} e^{-r t} d t.
Para integrar e^{-r t} usamos a regra básica de antiderivada: se temos \int e^{a t} dt=\frac{1}{a}e^{a t} para a\neq0. Aqui a=-r. Portanto a antiderivada de e^{-r t} é
\int e^{-r t} d t=-\frac{1}{r}e^{-r t}+C,
onde C é a constante de integração. Vou explicar as variáveis: t é o tempo (anos), r é a taxa (em unidades ano^{-1}), e o sinal negativo vem porque derivando -\frac{1}{r}e^{-r t} obtemos e^{-r t}.
Observação importante sobre convergência: para que \lim_{t\to\infty} e^{-r t}=0 seja verdade precisamos de r>0. Como a taxa de juros é positiva no contexto financeiro, r>0 e a integral converge.

Passo 3

Agora avaliamos explicitamente o limite. Começamos calculando a integral definida até b:
\int_{0}^{b} e^{-r t} d t=\left[-\frac{1}{r}e^{-r t}\right]_{t=0}^{t=b}=-\frac{1}{r}e^{-r b}-\left(-\frac{1}{r}e^{0}\right)=-\frac{1}{r}e^{-r b}+\frac{1}{r}.
Tomamos o limite quando b\to+\infty:
\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{r}e^{-r b}+\frac{1}{r}\right)= -\frac{1}{r}\cdot 0 + \frac{1}{r}=\frac{1}{r},
porque, para r>0, \lim_{b\to\infty} e^{-r b}=0. Logo
\int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t=\frac{1}{r}.

Passo 4

Voltando à fórmula do valor atual da anuidade perpétua,
V A_{\infty}=P \int_{0}^{+\infty} e^{-r t} d t,
substituímos a integral pelo resultado \frac{1}{r}. Assim obtemos a fórmula simples e muito usada em finanças:
V A_{\infty}=\frac{P}{r}.
Interpretação intuitiva: o valor presente de pagamentos constantes infinitos é o pagamento anual dividido pela taxa de juros (em unidades compatíveis). Isso só faz sentido se r>0.

Passo 5

Aplicando ao item (b): temos r=6\%=0,06 e P=\mathrm{R}\$\;24\,000,00. Usando \displaystyle V A_{\infty}=\frac{P}{r}
V A_{\infty}=\frac{\mathrm{R}\$\;24\,000,00}{0,06}.
Para calcular, observe
\frac{24\,000}{0,06}=24\,000\times\frac{1}{0,06}=24\,000\times\frac{100}{6}=24\,000\times\frac{50}{3}=24\,000\times 16\frac{2}{3}=400\,000.
Portanto o valor atual é \mathrm{R}\$\;400\,000,00.

Resposta

V A_{\infty}=\frac{P}{r}
V A_{\infty}=\mathrm{R}\$\;400\,000,00

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