VALOR ATUAL DE UMA PERPETUIDADE. De acordo com o que foi estudado, para encontrar o Valor Atual de um investimento podemos usar o modelo
onde
representa o fluxo de renda contínua (em reais por ano) e a taxa de juros anual
é capitalizada continuamente por um período de
anos. Se o montante de pagamento de uma anuidade é um valor constante
, então
é igual a
e o Valor Atual
será dado por
Suponha que você queira iniciar uma anuidade, como um fundo para bancar uma espécie de “aposentadoria”, que pague a mesma quantidade anualmente para sempre. Como a anuidade continuará indefinidamente, o número de anos
tende ao infinito. Essa anuidade é denominada anuidade perpétua, a qual pode ser representada pela seguinte integral imprópria:
(a) Qual o valor da anuidade perpétua
[em termos de
e
]?
(b) Volte ao item (a) da Questão 32 e calcule o valor da anuidade perpétua, considerando que a taxa de juros permaneça em
anual, mas o investimento retorne uma renda fixa de
24000,00$ “pra sempre”!
(b) Volte ao item (a) da Questão 32 e calcule o valor da anuidade perpétua, considerando que a taxa de juros permaneça em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o valor atual da anuidade perpétua dada por
onde
é o pagamento anual constante (em reais por ano) e
é a taxa de juros anual (capitalizada continuamente).
2. (b) Usar o resultado do item (a) para o caso numérico em que a taxa é ao ano e o pagamento permanente é de
.
2. (b) Usar o resultado do item (a) para o caso numérico em que a taxa é
Informações relevantes dadas:
- A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
- O fluxo é constante:
. - Para o item (b):
e .
Passo 2
Entendendo a integral e como resolvê-la: precisamos calcular a integral imprópria
Uma integral imprópria com limite superior infinito é definida como um limite finito:
Para integrar
usamos a regra básica de antiderivada: se temos
para
. Aqui
. Portanto a antiderivada de
é
onde
é a constante de integração. Vou explicar as variáveis:
é o tempo (anos),
é a taxa (em unidades ano^{-1}), e o sinal negativo vem porque derivando
obtemos
.
Observação importante sobre convergência: para que
seja verdade precisamos de
. Como a taxa de juros é positiva no contexto financeiro,
e a integral converge.
Passo 3
Agora avaliamos explicitamente o limite. Começamos calculando a integral definida até
:
Tomamos o limite quando
:
porque, para
,
. Logo
Passo 4
Voltando à fórmula do valor atual da anuidade perpétua,
substituímos a integral pelo resultado
. Assim obtemos a fórmula simples e muito usada em finanças:
Interpretação intuitiva: o valor presente de pagamentos constantes infinitos é o pagamento anual dividido pela taxa de juros (em unidades compatíveis). Isso só faz sentido se
.
Passo 5
Aplicando ao item (b): temos
e
. Usando
dá
Para calcular, observe
Portanto o valor atual é
.