Diferencie a função f doda P_{0 r} :
f(x)=\operatorname{Sin}(\tan (\sqrt{\sin x}))

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede a diferenciação. Informações dadas:
f(x)=\operatorname{Sin}\big(\tan(\sqrt{\sin x})\big).
O que é pedido: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Plano (sem resolver ainda): a função é uma composição de várias funções (seno, tangente, raiz quadrada e seno novamente). Para diferenciar vamos aplicar a regra da cadeia várias vezes, desmembrando a composição em camadas. Primeiro vou definir funções internas e depois derivar camada por camada.

Passo 3

Lembrete didático sobre a regra da cadeia e regras básicas que usarei:
\text{Se }F(x)=g(h(x))\text{ então }F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).ã
Isto significa: derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna. Exemplos rápidos:
\text{Se }G(x)=\sin(3x)\text{, então }G'(x)=\cos(3x)\cdot 3.ã
Regras que usaremos:
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x),
\frac{d}{dx}\tan(u(x))=\operatorname{sec}^2(u(x))\cdot u'(x),
\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x).
Aqui \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)} e \operatorname{sec}^2(t)=1+\tan^2(t) (só para referência).

Passo 4

Defino as camadas internas para ficar claro:
u(x)=\sin x,
v(x)=\sqrt{u(x)}=\sqrt{\sin x},
w(x)=\tan(v(x))=\tan(\sqrt{\sin x}),
f(x)=\sin(w(x))=\sin(\tan(\sqrt{\sin x})).
Agora calculo as derivadas de cada camada, uma a uma.

Passo 5

Derivo u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Derivo v(x)=(\,u(x)\,)^{1/2} usando a regra da potência combinada com a cadeia:
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x.
Derivo w(x)=\tan(v(x)) usando derivada da tangente e a cadeia:
w'(x)=\operatorname{sec}^2(v(x))\cdot v'(x)=\operatorname{sec}^2\big(\sqrt{\sin x}\big)\cdot \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.
Finalmente derivo f(x)=\sin(w(x)) pela regra da cadeia:
f'(x)=\cos(w(x))\cdot w'(x).

Passo 6

Substituo w(x) e w'(x) na expressão de f'(x) e simplifico:
f'(x)=\cos\big(\tan(\sqrt{\sin x})\big)\cdot \left[\operatorname{sec}^2\big(\sqrt{\sin x}\big)\cdot \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right].
Colocando tudo junto de forma limpa:
f'(x)=\frac{\cos\big(\tan(\sqrt{\sin x})\big)\,\operatorname{sec}^2\big(\sqrt{\sin x}\big)\,\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos\big(\tan(\sqrt{\sin x})\big)\,\operatorname{sec}^2\big(\sqrt{\sin x}\big)\,\cos x}{2\sqrt{\sin x}}

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