Diferencie a função f doda
:
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede a diferenciação. Informações dadas:
O que é pedido: calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Plano (sem resolver ainda): a função é uma composição de várias funções (seno, tangente, raiz quadrada e seno novamente). Para diferenciar vamos aplicar a regra da cadeia várias vezes, desmembrando a composição em camadas. Primeiro vou definir funções internas e depois derivar camada por camada.
Passo 3
Lembrete didático sobre a regra da cadeia e regras básicas que usarei:
Isto significa: derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna. Exemplos rápidos:
Regras que usaremos:
Aqui
e
(só para referência).
Passo 4
Defino as camadas internas para ficar claro:
Agora calculo as derivadas de cada camada, uma a uma.
Passo 5
Derivo
:
Derivo
usando a regra da potência combinada com a cadeia:
Derivo
usando derivada da tangente e a cadeia:
Finalmente derivo
pela regra da cadeia:
Passo 6
Substituo
e
na expressão de
e simplifico:
Colocando tudo junto de forma limpa: