(a) Diferencie imagens real e virtual.
(b) Demonstre a relação entre a distância do objeto §, distância da imagem (i) e distância focal (f) para espelhos esféricos:
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
(a) explicar a diferença entre imagem real e imagem virtual;
(b) demonstrar a relação entre a distância do objeto \,p, a distância da imagem \,i e a distância focal \,f para espelhos esféricos, ou seja provar que
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}.
Informações dadas/variáveis que vamos usar:
  • \,p = distância do objeto ao vértice do espelho;
  • \,i = distância da imagem ao vértice do espelho;
  • \,f = distância focal do espelho;
  • o espelho é esférico, com raio de curvatura \,R e centro \,C (mais adiante usaremos a relação \,f=\dfrac{R}{2});
  • assumiremos a aproximação paraxial (raios próximos ao eixo principal, ângulos pequenos), que é a hipótese usual para obter a fórmula simples.

Passo 2

(a) Diferença entre imagem real e imagem virtual — explicação didática, com exemplos e sinais que você pode checar na prova.
  • O que é uma imagem, intuitivamente: é o ponto onde os raios de luz parecem originar-se depois da reflexão (ou onde realmente se reúnem).
  • Imagem real: os raios de luz refletidos realmente convergem e se encontram em um ponto do espaço. Características práticas:
    • Pode ser projetada numa tela (por exemplo, um anteparo ou um anteparo fotográfico).
    • Geralmente formada do mesmo lado que a frente do espelho côncavo quando o objeto está além do foco.
    • Costuma ser invertida em relação ao objeto (ou seja, de cabeça para baixo) quando formada por espelhos côncavos para objetos além do foco.
    • Exemplo clássico: numa lente/espelho côncavo, se o objeto está além do foco, o espelho forma uma imagem real entre o espelho e o centro (ou além), e essa imagem pode ser capturada em um anteparo.
  • Imagem virtual: os raios de luz refletidos não se encontram de fato; eles divergem após reflexão, mas parecem vir de um ponto atrás do espelho (ou do lado oposto do espelho). Características práticas:
    • Não pode ser projetada numa tela porque não há convergência real de raios.
    • Frequentemente aparece direita (não invertida) e maior ou menor conforme o espelho/lente.
    • Em espelhos convexos, a imagem é sempre virtual, direita e reduzida; em espelhos côncavos, quando o objeto está entre o foco e o vértice, a imagem é virtual, direita e ampliada.
    • Exemplo quotidiano: o espelho plano do banheiro dá uma imagem virtual direita que parece estar “atrás” do vidro.
Dicas fáceis para identificar numa prova:
  • Se os raios efetivamente se cruzam depois da reflexão → imagem real.
  • Se só os prolongamentos dos raios (atrás do espelho) se cruzam → imagem virtual.
  • “Pode projetar na tela?” → sim → real; não → virtual.

Passo 3

(b) Preparação da demonstração geométrica da fórmula \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f}.
Vamos montar a figura mental (vou descrever para você poder desenhar na folha da prova):
  • Traçar o eixo principal horizontal e marcar o vértice do espelho como V.
  • O espelho é uma superfície esférica cujo centro é C, a uma distância R de V (ou seja \,VC=R).
  • O foco F está no eixo entre V e C, a uma distância \,VF=f. Para espelho esférico, temos \,f=\dfrac{R}{2} (vamos usar isso depois).
  • Coloque um objeto pontual A a uma altura h acima do eixo, com sua base sobre o eixo; a distância horizontal de A (projeção no eixo) até o vértice V é \,p.
  • Após a reflexão, o raio proveniente de A formará uma imagem em A' a uma altura h' acima (ou abaixo) do eixo; a distância horizontal VA' é \,i.
Escolhemos dois raios notórios (padrão para construção de imagem em espelhos):
  1. Um raio que sai de A paralelo ao eixo principal; após refletir no espelho, esse raio passa pelo foco F.
  2. Um raio que sai de A em direção ao centro C; como C é o centro da esfera, a normal ao espelho no ponto de incidência passa por C, logo esse raio é refletido de volta na mesma direção (ou seja, o segmento que liga A a C continua até A'). Esse segundo raio mostra que A, C e A' são colineares.
Para simplificar a álgebra geométrica usamos a aproximação paraxial: todos os raios considerados têm pequenas inclinações em relação ao eixo (ângulos pequenos), de modo que podemos usar as aproximações em radianos
\tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta
quando aparecerem os ângulos formados por esses raios com o eixo.

Passo 4

Relações angulares e semelhança de triângulos (passo crucial).
Considere um ponto M na superfície do espelho onde o raio paralelo incide. Seja y a altura desse ponto M sobre o eixo. Para a região paraxial, y é pequena e aproximamos y\approx h (isto é, o ponto de incidência está próximo da altura do objeto; geometricamente isso significa que os triângulos que vamos usar têm praticamente a mesma altura y).
Defina os ângulos (todos medidos em radianos pequenos ou suas tangentes, que aproximamos por ângulos):
  • ângulo do raio incidente (o que vem de A paralelo ao eixo) com o eixo: \theta_1. Como o raio é paralelo, \theta_1 é praticamente 0 para o raio paralelo, mas o que interessa é a inclinação do raio que vem de A para o centro; mais útil é considerar o raio que vai de A até M: o pequeno ângulo entre esse segmento e o eixo satisfaz
\theta_{\text{obj}}\approx\frac{y}{p}.
  • ângulo do raio refletido que vai de M até a imagem A': chamemos de \theta_{\text{img}}\approx\frac{y}{i}.
  • ângulo entre a normal (reta CM) e o eixo: \psi. Pelo triângulo que envolve C, V e M, para pequenas alturas temos
\psi\approx\frac{y}{R}.
Agora aplique a lei da reflexão: o ângulo que o raio incidente faz com a normal é igual ao ângulo que o raio refletido faz com a normal. Geometricamente, isso dá (em termos dos ângulos relativos ao eixo)
\theta_{\text{obj}}+\theta_{\text{img}} \;=\; 2\psi.
A razão é a seguinte: o ângulo entre o raio incidente e o eixo mais o ângulo entre o raio refletido e o eixo somam duas vezes o ângulo entre a normal e o eixo (visualize: a reflexão “vira” o raio ao redor da normal).
Substituindo as aproximações anteriores:
\frac{y}{p}+\frac{y}{i}=2\cdot\frac{y}{R}.

Passo 5

Simplificação e obtenção da fórmula do espelho.
Divida a expressão do passo anterior por y (não nulo):
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{2}{R}.
Agora lembramos a relação entre distância focal e raio de curvatura para um espelho esférico em aproximação paraxial:
f=\frac{R}{2}.
Substituindo \dfrac{2}{R}=\dfrac{1}{f} obtemos a relação desejada:
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}.

Passo 6

Comentário prático e fórmula de ampliação (útil para provas).
  • A equação \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f} vale sob a aproximação paraxial e com a convenção de sinais que você escolher (existem convenções diferentes: por exemplo, muitas vezes considera-se p>0 se o objeto está à esquerda do vértice, i>0 se a imagem está à esquerda etc.). No enunciado pediram apenas a relação entre as magnitudes, e a demonstração acima dá precisamente isso.
  • A ampliação linear (razão entre altura da imagem h' e altura do objeto h) resulta da semelhança de triângulos que envolve o raio que passa por C:
\frac{h'}{h}=\frac{i}{p}.
Se a imagem ficar invertida, costuma-se colocar um sinal negativo e escrever
m=\frac{h'}{h}=-\frac{i}{p},
onde m é o fator de ampliação (o sinal indica inversão). Essa relação também é obtida por semelhança direta dos triângulos da construção de raios.
Força aí — esse procedimento geométrico com as semelhanças e a lei da reflexão é um padrão em provas; pratique desenhando a figura e repetindo os passos.

Resposta

(a) Imagem real: formada quando os raios refletidos convergem efetivamente em um ponto; pode ser projetada em uma tela e costuma ser invertida (no caso de espelhos côncavos com objeto além do foco). Imagem virtual: formada quando os raios divergentes parecem vir de um ponto atrás do espelho (prolongamentos convergem); não pode ser projetada em tela e costuma ser direita (por exemplo, espelhos convexos sempre formam imagens virtuais).
(b) \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f}

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