Questão 59
Uma bola foi abandonada em uma determinada altura h em relação ao solo. A velocidade que o corpo atingiu o solo foi de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar e, ainda, adotando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, em que altura a bola foi abandonada?
A) 12,5 \mathrm{~m}.
B) 25 m .
C) 100 m .
D) 125 m.

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos:
  • A bola foi “abandonada” a uma altura h em relação ao solo. Isso significa que a velocidade inicial é v_0=0.
  • Velocidade com que atinge o solo: v=50\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração da gravidade é g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Despreza-se a resistência do ar.
O que é pedido:
  • Determinar a altura h de onde a bola foi abandonada (ou seja, encontrar h em metros).

Passo 2

Qual equação usar e por quê (explicação didática do procedimento que vamos aplicar).
  • Com aceleração constante (aqui a=g), existe uma relação que liga velocidade, velocidade inicial, aceleração e deslocamento sem precisar do tempo. Essa relação é útil porque o enunciado não fornece o tempo de queda.
  • A fórmula é \;v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\;, onde:
    • \;v\; é a velocidade final,
    • \;v_{0}\; é a velocidade inicial,
    • \;a\; é a aceleração (aqui \;g\;),
    • \;\Delta s\; é o deslocamento na direção da aceleração (aqui = altura h medida ao longo da queda).
  • A seguir eu mostro rapidamente de onde vem essa fórmula (aulas passo a passo), para você entender e poder usar na prova.

Passo 3

Derivação da fórmula \;v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\; de forma bem passada a passo.
  • Partimos das expressões para aceleração e posição com aceleração constante:
    • \;a=\dfrac{dv}{dt}\; e integrando com tempo obtém-se \;v=v_{0}+a t\;.
    • A posição (deslocamento) em função do tempo é \;\Delta s = v_{0}t+\dfrac{1}{2}a t^{2}\;.
  • Queremos eliminar t. Da primeira equação isolamos t:
    • \;t=\dfrac{v-v_{0}}{a}\;.
  • Substituímos esse t em \;\Delta s = v_{0}t+\dfrac{1}{2}a t^{2}\;:
    • \displaystyle \Delta s = v_{0}\left(\dfrac{v-v_{0}}{a}\right) + \dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{v-v_{0}}{a}\right)^{2}.
  • Agora simplificamos passo a passo:
    • Primeiro termo: \displaystyle v_{0}\dfrac{v-v_{0}}{a}=\dfrac{v_{0}v - v_{0}^{2}}{a}.
    • Segundo termo: \displaystyle \dfrac{1}{2}a\cdot \dfrac{(v-v_{0})^{2}}{a^{2}}=\dfrac{(v-v_{0})^{2}}{2a}.
    • Somando os dois termos com denominador comum 2a: \Delta s = \dfrac{2(v_{0}v - v_{0}^{2})}{2a} + \dfrac{(v-v_{0})^{2}}{2a}.
    • Expandindo (v-v_{0})^{2}=v^{2}-2v v_{0}+v_{0}^{2} e somando: \Delta s = \dfrac{2v_{0}v - 2v_{0}^{2} + v^{2}-2v v_{0}+v_{0}^{2}}{2a} = \dfrac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}.
  • Multiplicando ambos os lados por 2a obtemos: 2a\Delta s = v^{2}-v_{0}^{2},ou seja v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s.
  • Observação sobre sinais e convenção: aqui tomamos \Delta s na direção do movimento (se a bola cai, o deslocamento na direção da aceleração é positivo), então podemos usar a=g e \Delta s=h.

Passo 4

Aplicação direta ao problema (substituição dos números e cálculo).
  • Para a bola abandonada temos \;v_{0}=0, \;v=50\\ \mathrm{m/s}, \;a=g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, e \;\Delta s=h.
  • Usando \;v^{2}=v_{0}^{2}+2g h\;, substituímos: 50^{2}=0^{2}+2\cdot 10\cdot h.
  • Calculamos passo a passo:
    • \;50^{2}=2500.
    • O produto 2\cdot 10=20.
    • Logo \;2500=20\cdot h.
    • Isolando h: h=\dfrac{2500}{20}.
    • Efetuando a divisão de cabeça: \dfrac{2500}{20}=\dfrac{250}{2}=125.
  • Portanto \;h=125\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Checagem com outro método (conservação de energia) — uma segunda confirmação rápida.
  • Energia potencial gravitacional perdida \;m g h\; transforma-se em energia cinética \;\dfrac{1}{2} m v^{2}\; (sem atrito): m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Cancelando m e isolando h: h = \dfrac{v^{2}}{2g} = \dfrac{50^{2}}{2\cdot 10} = \dfrac{2500}{20}=125\\ \mathrm{m}.
  • Resultado coincide com o calculado antes — bom sinal de que está correto.

Passo 6

Interpretação final rápida e incentivo.
  • A altura calculada é relativamente grande ( 125\\ \mathrm{m}), faz sentido porque 50\\ \mathrm{m/s} é uma velocidade alta. Bom trabalho por chegar até aqui — foco nas fórmulas-chave e prática que você vai mandar bem na prova!

Resposta

D) 125\\ \mathrm{m}

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