Diferencie em relação a t :
\vec{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \sin t\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada em relação a t da função vetorial
\vec{r}(t) = \bigl(t^{2},e^{t},\sin t\bigr).
O que precisamos usar é a regra de derivação de um vetor componente a componente, além das derivadas elementares de t^{2}, e^{t} e \sin t.

Passo 2

Vamos derivar a primeira componente r_{1}(t)=t^{2}. Pela regra do expoente (potência), temos
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.

Passo 3

Agora, a segunda componente r_{2}(t)=e^{t}. Sabemos que a derivada da função exponencial é ela mesma, logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.

Passo 4

Para a terceira componente r_{3}(t)=\sin t, usamos a derivada do seno, que é o cosseno:
\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.

Passo 5

Como a derivada de uma função vetorial se faz componente a componente, juntamos os resultados:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\;e^{t},\;\cos t\bigr).

Resposta

\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,e^{t},\cos t\bigr).

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