Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em t=0, a uma força
F=F_{0} e^{-\gamma t} \cos (\omega t+\theta)
a) Determine o seu movimento.
b) Como a velocidade final depende de \theta e de \omega ? [Sugestão. Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se \cos (\omega t+\theta) em termos de funções exponenciais complexas.]

Passo 1

O enunciado pede o movimento de uma partícula de massa m inicialmente em repouso ( v(0)=0, x(0)=0) sob a ação, para t\ge0, de
F(t)=F_{0}\,e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta).
O conteúdo que vamos usar é a segunda lei de Newton
m\frac{dv}{dt}=F(t),
e, em seguida, integração para obter a posição x(t). Para simplificar a álgebra, vamos escrever \cos(\omega t+\theta) em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Usamos
\cos(\omega t+\theta)=\Re\bigl\{e^{i(\omega t+\theta)}\bigr\}.
Definimos a força complexa
\tilde F(t)=F_{0}\,e^{-\gamma t}e^{i(\omega t+\theta)}
e resolvemos a ODE complexa
m\frac{d\tilde v}{dt}=\tilde F(t), \quad \tilde v(0)=0.

Passo 3

Integramos
\tilde v(t)=\frac{1}{m}\int_{0}^{t}\tilde F(t')\,dt' =\frac{F_{0}}{m}\,e^{i\theta}\int_{0}^{t}e^{-(\gamma -i\omega)t'}\,dt' =\frac{F_{0}}{m}\,e^{i\theta}\,\frac{1 - e^{-(\gamma - i\omega)t}}{\gamma - i\omega}.
A velocidade real é
v(t)=\Re\bigl\{\tilde v(t)\bigr\}.

Passo 4

Extraindo a parte real, uma forma conveniente é
v(t) =\frac{F_{0}}{m(\gamma^{2}+\omega^{2})} \Bigl[\, \gamma\bigl(\cos\theta - e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)\bigr) -\omega\bigl(\sin\theta - e^{-\gamma t}\sin(\omega t+\theta)\bigr) \Bigr].
Nessa expressão aparece claramente v(0)=0.

Passo 5

A posição x(t) vem de
x(t)=\int_{0}^{t}v(t')\,dt'.
Em forma compacta usando a parte real de uma integral complexa, temos
x(t) =\Re\Biggl\{\frac{F_{0}}{m}\,e^{i\theta}\,\frac{1}{\gamma - i\omega} \Bigl[ t \;-\;\frac{1 - e^{-(\gamma - i\omega)t}}{\gamma - i\omega} \Bigr]\Biggr\}.

Passo 6

A velocidade final, quando t\to\infty, vem de zerar o termo exponencial:
v(\infty) =\Re\!\Bigl\{\tfrac{F_{0}}{m}\,\tfrac{e^{i\theta}}{\gamma - i\omega}\Bigr\} =\frac{F_{0}}{m}\,\frac{\gamma\cos\theta - \omega\sin\theta}{\gamma^{2}+\omega^{2}}.
Logo, v(\infty) depende de \theta e de \omega por meio do numerador \gamma\cos\theta - \omega\sin\theta e do fator \gamma^{2}+\omega^{2} no denominador.

Resposta

v(t)=\displaystyle \frac{F_{0}}{m(\gamma^{2}+\omega^{2})}\Bigl[\gamma\bigl(\cos\theta - e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)\bigr)-\omega\bigl(\sin\theta - e^{-\gamma t}\sin(\omega t+\theta)\bigr)\Bigr]
x(t)=\displaystyle \Re\Bigl\{\frac{F_{0}}{m}e^{i\theta}\frac{1}{\gamma - i\omega}\Bigl[t-\frac{1 - e^{-(\gamma - i\omega)t}}{\gamma - i\omega}\Bigr]\Bigr\}
v(\infty)=\displaystyle \frac{F_{0}}{m}\,\frac{\gamma\cos\theta - \omega\sin\theta}{\gamma^{2}+\omega^{2}}.

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