Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em
, a uma força
a) Determine o seu movimento.
b) Como a velocidade final depende de
e de
? [Sugestão. Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se
em termos de funções exponenciais complexas.]
b) Como a velocidade final depende de
Passo 1
O enunciado pede o movimento de uma partícula de massa
inicialmente em repouso (
,
) sob a ação, para
, de
O conteúdo que vamos usar é a segunda lei de Newton
e, em seguida, integração para obter a posição
. Para simplificar a álgebra, vamos escrever
em termos de exponenciais complexas.
Passo 2
Usamos
Definimos a força complexa
e resolvemos a ODE complexa
Passo 3
Integramos
A velocidade real é
Passo 4
Extraindo a parte real, uma forma conveniente é
Nessa expressão aparece claramente
.
Passo 5
A posição
vem de
Em forma compacta usando a parte real de uma integral complexa, temos
Passo 6
A velocidade final, quando
, vem de zerar o termo exponencial:
Logo,
depende de
e de
por meio do numerador
e do fator
no denominador.