Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
y=\sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{x}
e pede para encontrar a sua derivada y'. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a soma de duas raízes ímpares: a raiz cúbica e a raiz quinta de x.
  • A pergunta é única: calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Trocar as raízes por potências fracionárias (isso facilita aplicar as regras de derivação). Lembrando que \sqrt[n]{x}=x^{1/n}, temos:
y = x^{1/3} + x^{1/5}.

Passo 3

Apresentar a regra de derivação que vamos usar: a regra da potência. Ela diz que, para uma constante real a,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{a}\bigr)=a\,x^{a-1},
desde que a função esteja definida naquele ponto. Nesta fórmula:
  • x é a variável independente;
  • a é o expoente (aqui será 1/3 e 1/5);
  • o resultado é a derivada da função potência.

Passo 4

Aplicar a regra da potência termo a termo (a derivada da soma é a soma das derivadas). Derivando x^{1/3}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr)=\tfrac{1}{3}\,x^{1/3-1}=\tfrac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Derivando x^{1/5}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/5}\bigr)=\tfrac{1}{5}\,x^{1/5-1}=\tfrac{1}{5}\,x^{-4/5}.

Passo 5

Somar as duas derivadas para obter a derivada total:
y'=\tfrac{1}{3}\,x^{-2/3}+\tfrac{1}{5}\,x^{-4/5}.

Passo 6

Opcional: escrever a resposta em forma com radicais (às vezes fica mais intuitivo para avaliação numérica). Como x^{-2/3}=1/x^{2/3}=1/\sqrt[3]{x^{2}} e x^{-4/5}=1/\sqrt[5]{x^{4}}, obtemos também
y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{4}}}.

Passo 7

Observação sobre diferenciabilidade em x=0: as expressões x^{-2/3} e x^{-4/5} divergem quando x\to0, portanto a derivada não é finita em x=0. Assim, a fórmula acima vale para x\neq0. Para x=0 a derivada não existe como número finito (há tangente vertical).

Resposta

y'=\tfrac{1}{3}\,x^{-2/3}+\tfrac{1}{5}\,x^{-4/5}
ou equivalentemente
y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{4}}}.

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