Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
h(x)=\frac{x^{2}+4 x+3}{\sqrt{x}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de h.
O que nos é dado:
  • A função h é
h(x)=\frac{x^{2}+4x+3}{\sqrt{x}}.
  • Observação sobre domínio: como aparece \sqrt{x} no denominador, a função só está definida para x>0. Portanto a derivada só faz sentido (no contexto de números reais) para x>0.

Passo 2

Estratégia (sem entrar em cálculos ainda): é muito mais simples reescrever a expressão com potências e distribuir a divisão, transformando tudo em uma soma de potências de x. Assim podemos aplicar a regra da potência termo a termo. Essa é uma técnica padrão: transformar raízes em potências fracionárias para derivar facilmente.

Passo 3

Reescrevendo \sqrt{x} como x^{1/2} e dividindo cada termo por x^{1/2}:
h(x)=(x^{2}+4x+3)\,x^{-1/2}.
Agora distribuir (somar os termos):
h(x)=x^{2}x^{-1/2}+4x\,x^{-1/2}+3x^{-1/2}.
Usando a regra de potências x^{a}x^{b}=x^{a+b}, calcula-se os expoentes:
h(x)=x^{2-\tfrac{1}{2}}+4x^{1-\tfrac{1}{2}}+3x^{-\tfrac{1}{2}}.
Portanto
h(x)=x^{3/2}+4x^{1/2}+3x^{-1/2}.

Passo 4

Mini-aula: regra da potência e regras lineares
  • Regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa que, para derivar, multiplicamos pelo expoente e diminuímos esse expoente em 1.
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x).
Essas três regras são suficientes para derivar a forma que obtivemos em h.

Passo 5

Aplicando a regra da potência termo a termo:
  • Para x^{3/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}x^{3/2-1}=\tfrac{3}{2}x^{1/2}.
  • Para 4x^{1/2}: usar regra do múltiplo constante e da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{1/2}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right)=2x^{-1/2}.
  • Para 3x^{-1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-1/2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\right)=-\tfrac{3}{2}x^{-3/2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
h'(x)=\tfrac{3}{2}x^{1/2}+2x^{-1/2}-\tfrac{3}{2}x^{-3/2}.
Podemos escrever isso em termos de raízes se preferir:
h'(x)=\tfrac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2x^{3/2}}.

Passo 7

Opcional — simplificar para uma única fração (mesmo denominador). Tomando como denominador comum 2x^{3/2}:
\tfrac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3x^{2}}{2x^{3/2}},\qquad 2x^{-1/2}=\frac{4x}{2x^{3/2}},\qquad -\tfrac{3}{2}x^{-3/2}=-\frac{3}{2x^{3/2}}.
Somando numeradores:
h'(x)=\frac{3x^{2}+4x-3}{2x^{3/2}}.
Lembrete final sobre domínio: esta expressão só vale para x>0, que é o domínio da função original.

Resposta

\displaystyle h'(x)=\frac{3x^{2}+4x-3}{2x^{3/2}}

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