Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
.
O que nos é dado:
- A função
é
- Observação sobre domínio: como aparece
no denominador, a função só está definida para . Portanto a derivada só faz sentido (no contexto de números reais) para .
Passo 2
Estratégia (sem entrar em cálculos ainda): é muito mais simples reescrever a expressão com potências e distribuir a divisão, transformando tudo em uma soma de potências de
. Assim podemos aplicar a regra da potência termo a termo. Essa é uma técnica padrão: transformar raízes em potências fracionárias para derivar facilmente.
Passo 3
Reescrevendo
como
e dividindo cada termo por
:
Agora distribuir (somar os termos):
Usando a regra de potências
, calcula-se os expoentes:
Portanto
Passo 4
Mini-aula: regra da potência e regras lineares
- Regra da potência: para qualquer número real
,
Isto significa que, para derivar, multiplicamos pelo expoente e diminuímos esse expoente em 1.
- Regra do múltiplo constante: se
é constante então
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
Essas três regras são suficientes para derivar a forma que obtivemos em
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência termo a termo:
- Para
:
- Para
: usar regra do múltiplo constante e da potência,
- Para
:
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
Podemos escrever isso em termos de raízes se preferir:
Passo 7
Opcional — simplificar para uma única fração (mesmo denominador). Tomando como denominador comum
:
Somando numeradores:
Lembrete final sobre domínio: esta expressão só vale para
, que é o domínio da função original.