Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - A derivada é em relação a
. - Não há outras restrições (assume-se domínio usual dos polinômios, isto é, todos os
).
Passo 2
Definição da derivada (a ideia básica que vamos usar).
A derivada de uma função em um ponto
é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai a zero:
A derivada de uma função
Aqui
é um pequeno incremento em
. Se esse limite existe, é a inclinação da reta tangente à curva no ponto
. Vamos aplicar essa definição a
.
Passo 3
Aplicando a definição a
.
Substituindo na definição:
Substituindo na definição:
Para manipular
usamos o Teorema Binomial (uma ferramenta que permite expandir potências de soma):
onde
é o coeficiente binomial (número de combinações) definido por
. Em particular,
.
Passo 4
Substituindo a expansão no quociente e simplificando:
Observe que o termo
é exatamente
e cancelou. Agora fatoramos
:
Passo 5
Tomando o limite
.
No somatório acima, todos os termos com têm fator
com potência positiva (pelo menos
), então esses termos vão a zero quando
. O único termo que sobrevive é o de
:
No somatório acima, todos os termos com
E como já visto,
. Portanto o limite (a derivada) é
, que corresponde ao termo que ficou.
Passo 6
Interpretação didática e atalho prático (a regra de potência).
O que fizemos com a definição mostrou um padrão geral: para qualquer inteiro vale
O que fizemos com a definição mostrou um padrão geral: para qualquer inteiro
Essa é a chamada regra de potência — muito útil em prova porque evita reescrever limites e expansões toda vez. Exemplos simples para sentir o padrão:
- Se
, então . - Se
, então .
No nosso caso
, então aplicando diretamente a regra de potência obtemos o resultado.