Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
f(x)=x^{40}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f(x)=x^{40}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{40}.
  • A derivada é em relação a x.
  • Não há outras restrições (assume-se domínio usual dos polinômios, isto é, todos os x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Definição da derivada (a ideia básica que vamos usar).
A derivada de uma função f em um ponto x é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai a zero:
\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Se esse limite existe, é a inclinação da reta tangente à curva no ponto x. Vamos aplicar essa definição a f(x)=x^{40}.

Passo 3

Aplicando a definição a f(x)=x^{40}.
Substituindo na definição:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{40}-x^{40}}{h}.
Para manipular (x+h)^{40} usamos o Teorema Binomial (uma ferramenta que permite expandir potências de soma):
(x+h)^{40}=\sum_{k=0}^{40}\binom{40}{k}x^{40-k}h^{k},
onde \binom{40}{k} é o coeficiente binomial (número de combinações) definido por \displaystyle \binom{40}{k}=\frac{40!}{k!(40-k)!}. Em particular, \displaystyle \binom{40}{1}=40.

Passo 4

Substituindo a expansão no quociente e simplificando:
\frac{(x+h)^{40}-x^{40}}{h} =\frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{40}\binom{40}{k}x^{40-k}h^{k}-x^{40}}{h} =\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{40}\binom{40}{k}x^{40-k}h^{k}}{h}.
Observe que o termo k=0 é exatamente x^{40} e cancelou. Agora fatoramos h:
\frac{(x+h)^{40}-x^{40}}{h} =\sum_{k=1}^{40}\binom{40}{k}x^{40-k}h^{\,k-1}.

Passo 5

Tomando o limite h\to 0.
No somatório acima, todos os termos com k\ge 2 têm fator h^{k-1} com potência positiva (pelo menos h^{1}), então esses termos vão a zero quando h\to 0. O único termo que sobrevive é o de k=1:
\lim_{h\to 0}\sum_{k=1}^{40}\binom{40}{k}x^{40-k}h^{\,k-1} =\binom{40}{1}x^{39}.
E como já visto, \displaystyle \binom{40}{1}=40. Portanto o limite (a derivada) é \binom{40}{1}x^{39}, que corresponde ao termo que ficou.

Passo 6

Interpretação didática e atalho prático (a regra de potência).
O que fizemos com a definição mostrou um padrão geral: para qualquer inteiro n\ge 1 vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Essa é a chamada regra de potência — muito útil em prova porque evita reescrever limites e expansões toda vez. Exemplos simples para sentir o padrão:
  • Se g(x)=x^{3}, então \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Se h(x)=x^{5}, então \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
No nosso caso n=40, então aplicando diretamente a regra de potência obtemos o resultado.

Resposta

f'(x)=40x^{39}

Exercícios relacionados