Diferente de haver somente argumentos exclusivamente geométricos, Hero de Alexandria procura uma justificativa teórica para obter a Lei da Refexão. Um modelo dinãmico de Propagação da Luz por meio de projétis sobre uma superfície impermeável que força um ricochetear. Hero escreve
assim como uma pedra arremessada com grande força contra um corpo compacto ricocheteia, … assim também os raios enviados por nós a uma velocidade enorme, como foi mostrado, são refletidos por corpos compactos quando os atingem.
(Hero de Alexandria, circa 0100 CE ) Usando esta idéia obtenha a Lei da Reflexão da Luz.
Compare as três leis da reflexão obtidas, elas são equivalentes? Se não explique as diferenças fundamentais. Como podemos decidir qual a teoria mais adequada?

Passo 1

O enunciado pede para usar o modelo de Hero — que trata a luz como projéteis que ricocheteiam de forma elástica numa superfície — para obter a lei da reflexão, e depois comparar essa lei com outras duas derivações (geométrica e a partir de princípio variacional) e discutir qual teoria é mais adequada.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o comportamento de um choque elástico simples. Suponha um projétil que chega à superfície com velocidade vec v. Decompomos essa velocidade em uma componente paralela à superfície vparal<=l e outra perpendicular vperp. Num choque perfeitamente elástico a componente paralela fica inalterada e a perpendicular inverte de sinal:
v'paral<=l=vparal<=l, v'perp=-vperp
Agora traduzimos isso em ângulos. Se thetai é o ângulo de incidência medido em relação à normal e thetar o ângulo de reflexão, temos
vperp=vcosthetai, vparal<=l=vsinthetai,
e após a inversão
v'perp= -vcosthetai, v'paral<=l=vsinthetai
O vetor refletido faz então um ângulo thetar tal que
tanthetar=v'paral<=l|v'perp|=vsinthetaivcosthetai=tanthetai
portanto thetar=thetai. Essa é a lei da reflexão pelo modelo dinâmico de Hero.

Passo 3

A derivação geométrica clásica parte de desenhar o raio incidente, traçar a normal e refletir o raio construindo um ângulo igual ao de incidência. É puramente a simetria do caminho com respeito à normal, sem apelar a nenhuma ideia de colisão ou velocidade.

Passo 4

Pelo princípio de Fermat (princípio da menor duração), assumimos que o raio de luz escolhe o caminho que minimiza o tempo de trajeto. Se restringimos o caminho a dois segmentos (incidência e reflexão) e fixamos pontos fonte e observador, um cálculo de otimização pelo método de reflexão geométrica também leva a thetar=thetai.

Passo 5

As três leis (dinâmica de Hero, derivação geométrica e princípio de Fermat) fornecem a mesma fórmula thetar=thetai, ou seja, são matematicamente equivalentes. Porém elas diferem no fundamento: o modelo de Hero trata luz como partículas elásticas, a derivação geométrica é apenas uma construção gráfica e o princípio de Fermat é um enunciado variacional sem mecânica de partículas.

Passo 6

Para decidir qual teoria é mais adequada avaliamos critério de generalidade, simplicidade e poder preditivo. O modelo de partículas de Hero não explica refração nem fenômenos de interferência. A derivação geométrica não oferece princípio subjacente. Já o princípio de Fermat serve de base para a teoria ondulatória e se generaliza para refração, dispersão e até mecânica quântica. Por isso ele é considerado mais poderoso e adequado.

Resposta

A Lei da Reflexão: o ângulo de incidência thetai é igual ao ângulo de reflexão thetar. As três derivações são matematicamente equivalentes, mas diferem nos fundamentos. O critério de escolha da teoria mais adequada é sua capacidade de explicar e prever fenômenos adicionais (refração, interferência, difração), o que torna o princípio de Fermat e a teoria ondulatória superiores ao modelo puramente dinâmico de Hero.

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