Problema 3 Considere o sistema de Lorenz, dado no ítem
do problema 1,
. Defina uma função apropriada
tal que
para qualquer ponto que não a origem. Além disto,
tem que ser sempre negativa (exceto para a origem, novamente) quando
e
solucionam o sistema de Lorenz. A partir disto, argumente que a origem deve ser um ponto fixo que atrai todas as órbitas para qualquer condição inicial.
Passo 1
A gente precisa achar uma função de Lyapunov V para o sistema de Lorenz com r<1, isto é, V(0,0,0)=0, V(x,y,z)>0 se (x,y,z)≠(0,0,0) e ȦV<0; daí a origem será globalmente assintoticamente estável.
Uma escolha natural é uma forma quadrática como
Uma escolha natural é uma forma quadrática como
com constante k>0.
Passo 2
Para essa V, calculamos
Usando a desigualdade de Young
temos
Para r<1 o intervalo
é não vazio, e nessas condições todos os coeficientes são positivos, garantindo \dot{V}<0 para (x,y,z)≠(0,0,0).
Passo 3
Como V é definida positiva e \dot{V} é definida negativa, o Teorema de Lyapunov diz que a origem é globalmente assintoticamente estável, ou seja, atrai todas as órbitas para qualquer condição inicial.
Resposta
Uma escolha conveniente é a função de Lyapunov
com
Para essa escolha obtém-se \dot{V}<0 sempre que (x,y,z)≠(0,0,0), garantindo que, por teoremas de Lyapunov, a origem é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e, portanto, atrai todas as órbitas.