Problema 3 Considere o sistema de Lorenz, dado no ítem B do problema 1, com r<1. Defina uma função apropriada V(x, y, z) tal que V(0,0,0)= 0, V(x, y, z)>0 para qualquer ponto que não a origem. Além disto, dotV(x(t), y(t), z(t)) tem que ser sempre negativa (exceto para a origem, novamente) quando x(t), y(t) e z(t) solucionam o sistema de Lorenz. A partir disto, argumente que a origem deve ser um ponto fixo que atrai todas as órbitas para qualquer condição inicial.

Passo 1

A gente precisa achar uma função de Lyapunov V para o sistema de Lorenz com r<1, isto é, V(0,0,0)=0, V(x,y,z)>0 se (x,y,z)≠(0,0,0) e ȦV<0; daí a origem será globalmente assintoticamente estável.
Uma escolha natural é uma forma quadrática como
V(x,y,z)=x^2 + k,y^2 + k,z^2,
com constante k>0.

Passo 2

Para essa V, calculamos
dotV=2xdotx + 2k ydoty + 2k zdotz =-2sigma x^2 - 2k y^2 - 2k b z^2 + 2(sigma + k r)x y
Usando a desigualdade de Young
2(sigma + k r)x y <= (sigma + k r)(x^2 + y^2),
temos
dotV <= -(sigma - k r)x^2 - (2k - sigma - k r)y^2 - 2k b z^2
Para r<1 o intervalo
k inl(tfracsigma2-r,,tfracsigmarr)
é não vazio, e nessas condições todos os coeficientes são positivos, garantindo \dot{V}<0 para (x,y,z)≠(0,0,0).

Passo 3

Como V é definida positiva e \dot{V} é definida negativa, o Teorema de Lyapunov diz que a origem é globalmente assintoticamente estável, ou seja, atrai todas as órbitas para qualquer condição inicial.

Resposta

Uma escolha conveniente é a função de Lyapunov
V(x,y,z)=x^2 + k,y^2 + k,z^2,
com
kinl(tfracsigma2-r,,tfracsigmarr)
Para essa escolha obtém-se \dot{V}<0 sempre que (x,y,z)≠(0,0,0), garantindo que, por teoremas de Lyapunov, a origem é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e, portanto, atrai todas as órbitas.

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