Problema 4 Considere um estudante de física tentando resolver um problema de uma lista de uma cadeira, onde ele deve calcular a única raíz real de
. Sem acesso a qualquer método melhor, ele chuta um um valor inicial para
e calcula os valores seguintes utilizando uma calculadora e a fórmula:
. Este estudante irá conseguir calcular a raiz? Enquanto isto, outro estudante que conhece o método de NewtonRapshon utiliza-o. Terá sucesso este?
Passo 1
No enunciado temos a busca da raiz única da função
. O primeiro estudante tenta usar uma iteração de ponto fixo definindo
sem conhecer métodos mais eficientes. O segundo estudante aplica o método de Newton-Raphson. Para avaliar quem vai ter sucesso, precisamos analisar a convergência da iteração de ponto fixo e da Newton-Raphson.
Passo 2
Para a iteração de ponto fixo definimos
. A convergência local desse método depende do critério
, onde
é a solução de
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Precisamos avaliar
na raiz
. Primeiro estimamos numericamente
via bisseção ou tentativa e erro, encontrando
.
Passo 4
Avaliando em
temos
e portanto
. Isso viola o critério de convergência, logo a iteração diverge e o primeiro estudante não consegue chegar à raiz.
Passo 5
No método de Newton-Raphson usamos a fórmula
com
Como
não é zero, a raiz é simples. Isso garante convergência local do método de Newton-Raphson quando o chute inicial estiver próximo o suficiente de
.
Passo 6
Concluímos que o estudante que tentou a iteração de ponto fixo falha por divergência, enquanto o que usa Newton-Raphson terá sucesso em achar a raiz.
Resposta
O estudante que usa a iteração de ponto fixo
não consegue convergir ao valor da raiz. Já o estudante que aplica o método de Newton-Raphson obtém sucessiva aproximação e, portanto, terá sucesso em encontrar a raiz.