Problema 4 Considere um estudante de física tentando resolver um problema de uma lista de uma cadeira, onde ele deve calcular a única raíz real de x^3+x+e^x+2. Sem acesso a qualquer método melhor, ele chuta um um valor inicial para x0 e calcula os valores seguintes utilizando uma calculadora e a fórmula: . Este estudante irá conseguir calcular a raiz? Enquanto isto, outro estudante que conhece o método de NewtonRapshon utiliza-o. Terá sucesso este?

Passo 1

No enunciado temos a busca da raiz única da função f(x)=x^3+x+e^x+2. O primeiro estudante tenta usar uma iteração de ponto fixo definindo xi+1= -l(xi^3+e^xi+2r) sem conhecer métodos mais eficientes. O segundo estudante aplica o método de Newton-Raphson. Para avaliar quem vai ter sucesso, precisamos analisar a convergência da iteração de ponto fixo e da Newton-Raphson.

Passo 2

Para a iteração de ponto fixo definimos g(x)=-l(x^3+e^x+2r). A convergência local desse método depende do critério |g'(x^*)|<1, onde x^* é a solução de f(x)=0.

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g'(x)= -l(3x^2+e^x+2r)
Precisamos avaliar g' na raiz x^*. Primeiro estimamos numericamente x^* via bisseção ou tentativa e erro, encontrando x^*approx -1.104.

Passo 4

Avaliando em x^* temos
g'(x^*)= -l(3(-1.104)^2+e^-1.104+2r)approx-(3.658+2.449)approx-6.107,
e portanto |g'(x^*)|approx6.107>1. Isso viola o critério de convergência, logo a iteração diverge e o primeiro estudante não consegue chegar à raiz.

Passo 5

No método de Newton-Raphson usamos a fórmula
xi+1=xi-f(xi)f'(xi),
com
f'(x)=3x^2+1+e^x+2
Como f'(x^*)=3(-1.104)^2+1+e^-1.104+2approx7.107 não é zero, a raiz é simples. Isso garante convergência local do método de Newton-Raphson quando o chute inicial estiver próximo o suficiente de x^*.

Passo 6

Concluímos que o estudante que tentou a iteração de ponto fixo falha por divergência, enquanto o que usa Newton-Raphson terá sucesso em achar a raiz.

Resposta

O estudante que usa a iteração de ponto fixo xi+1=-l(xi^3+e^xi+2r) não consegue convergir ao valor da raiz. Já o estudante que aplica o método de Newton-Raphson obtém sucessiva aproximação e, portanto, terá sucesso em encontrar a raiz.

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