(Difícil) Considere
. Defina três funções contínuas
e
tais que
Passo 1
O enunciado pede para construir, em D = ℂ \ (-∞,0], três funções contínuas f_i tais que (f_i(z))^3 = z; o conteúdo é o de raízes múltiplas de funções complexas e precisamos usar a escrita polar z = r e^{iθ} com θ em (0,2π).
Passo 2
Como D exclui o eixo real negativo, podemos definir de forma contínua a argumentação θ de cada z ∈ D escolhendo a ‘argumento principal’ Arg(z) em (0,2π). Em seguida escrevemos z em coordenadas polares: z = r e^{iθ} com r = |z| > 0 e θ = Arg(z) ∈ (0,2π).
Para extrair as três raízes cúbicas contínuas, lembramos que as soluções de w^3 = z são w = r^{1/3} e^{i(θ + 2π k)/3}, k ∈ {0,1,2}. Então definimos:
Para extrair as três raízes cúbicas contínuas, lembramos que as soluções de w^3 = z são w = r^{1/3} e^{i(θ + 2π k)/3}, k ∈ {0,1,2}. Então definimos:
Passo 3
f₁(z) = r^{1/3} e^{iθ/3},
f₂(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 2π)/3},
f₃(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 4π)/3}.
f₂(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 2π)/3},
f₃(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 4π)/3}.
Passo 4
Cada f_i é contínua em D porque Arg(z) varia continuamente em (0,2π) e satisfaz (f_i(z))^3 = r e^{iθ} = z.
Resposta
Define-se para z = re^{iθ} com r > 0 e θ = Arg(z) ∈ (0,2π):
f₁(z) = r^{1/3} e^{iθ/3},
f₂(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 2π)/3},
f₃(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 4π)/3}.