(Difícil) Considere D=C backslash(-infty, 0]. Defina três funções contínuas f1, f2 e f3: D C tais que
(fi(z))^3=z, i=1,2,3

Passo 1

O enunciado pede para construir, em D = ℂ \ (-∞,0], três funções contínuas f_i tais que (f_i(z))^3 = z; o conteúdo é o de raízes múltiplas de funções complexas e precisamos usar a escrita polar z = r e^{iθ} com θ em (0,2π).

Passo 2

Como D exclui o eixo real negativo, podemos definir de forma contínua a argumentação θ de cada z ∈ D escolhendo a ‘argumento principal’ Arg(z) em (0,2π). Em seguida escrevemos z em coordenadas polares: z = r e^{iθ} com r = |z| > 0 e θ = Arg(z) ∈ (0,2π).
Para extrair as três raízes cúbicas contínuas, lembramos que as soluções de w^3 = z são w = r^{1/3} e^{i(θ + 2π k)/3}, k ∈ {0,1,2}. Então definimos:

Passo 3

f₁(z) = r^{1/3} e^{iθ/3},
f₂(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 2π)/3},
f₃(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 4π)/3}.

Passo 4

Cada f_i é contínua em D porque Arg(z) varia continuamente em (0,2π) e satisfaz (f_i(z))^3 = r e^{iθ} = z.

Resposta

Define-se para z = re^{iθ} com r > 0 e θ = Arg(z) ∈ (0,2π):
f₁(z) = r^{1/3} e^{iθ/3},
f₂(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 2π)/3},
f₃(z) = r^{1/3} e^{i(θ + 4π)/3}.

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