Efetue a operação e simplifique o resultado, se possível acrescente as restrições das variáveis envolvidas.
xx-1+2+xx+1+2 x+4x^2-1

Passo 1

O exercício pede para efetuar a soma das seguintes expressões racionais e simplificar o resultado, além de indicar as restrições do domínio: (x)/(x-1) + (2+x)/(x+1) + (2x+4)/(x^2-1). O conteúdo é soma de frações algébricas, e vamos precisar determinar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e combinar numeradores.

Passo 2

Identificamos as restrições do domínio analisando os denominadores x-1, x+1 e x^2-1. Eles não podem ser zero, logo temos xneq 1 e xneq -1.

Passo 3

Fatoramos o denominador x^2 - 1 = (x-1)(x+1) usando diferença de quadrados. Assim, todos os denominadores podem ser escritos em função de (x-1)(x+1).

Passo 4

Expressamos cada fração com denominador comum (x-1)(x+1): (x)/(x-1) = (x(x+1))/((x-1)(x+1)), (x+2)/(x+1) = ((x+2)(x-1))/((x-1)(x+1)) e (2x+4)/(x^2-1) = (2(x+2))/((x-1)(x+1)).

Passo 5

Somamos as frações, combinando numeradores sobre o denominador comum (x-1)(x+1): (x(x+1) + (x+2)(x-1) + 2(x+2))/((x-1)(x+1)).

Passo 6

Expandimos e simplificamos o numerador: x(x+1) = x^2 + x, (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2 e 2(x+2) = 2x + 4. Somando esses termos, obtemos 2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2.

Passo 7

Substituímos no quociente para ter (2(x+1)^2)/((x-1)(x+1)). Como x+1neq 0, cancelamos um fator (x+1), resultando em (2(x+1))/(x-1).

Resposta

(2(x+1))/(x-1), com xneq 1 e xneq -1.

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