- (Difícil) Resolva
usando substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a ser integrada é
vezes a raiz quadrada de . - Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Idea da substituição (mini-aula): quando temos uma composição de funções, é comum escolher como substituição
a parte “interna” cuja derivada aparece multiplicando externamente. Aqui a parte interna óbvia é
(porque está dentro da raiz). Vamos testar a substituição
Agora calculemos
: derivando em relação a
,
Isso nos diz que
aparece na diferencial: isolando,
Observação didática: a substituição funciona bem porque o diferencial de
é uma constante multiplicada por
, exatamente o que temos no integrando. Esse é o motivo de escolher
igual à expressão dentro da raiz.
Passo 3
Troca completa da integral usando a substituição. A raiz vira
e
vira
. Portanto a integral original transforma-se em
Fatorando a constante fora da integral:
Passo 4
Integração da potência (mini-aula): a regra básica é
Aqui
. Aplicando a regra:
Substituindo isso na expressão com o fator
:
Agora simplificamos a constante:
Logo a primitiva em termos de
é
Passo 5
Volta à variável
substituindo
. Assim a primitiva da integral original é
Verificação rápida (cheque mental): derivando este resultado usando a regra da cadeia:
o que coincide com o integrando. Então a resposta está correta.