1. (Difícil) Resolva \int x \sqrt{5 x^{2}+3} d x usando substituição.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{5 x^{2}+3}\, dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a ser integrada é x vezes a raiz quadrada de 5x^{2}+3.
  • Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sqrt{5x^{2}+3}.
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Idea da substituição (mini-aula): quando temos uma composição de funções, é comum escolher como substituição u a parte “interna” cuja derivada aparece multiplicando externamente. Aqui a parte interna óbvia é 5x^{2}+3 (porque está dentro da raiz). Vamos testar a substituição
u = 5x^{2}+3.
Agora calculemos du: derivando em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(5x^{2}+3)\, dx = 10x\, dx.
Isso nos diz que x\,dx aparece na diferencial: isolando,
x\,dx = \frac{1}{10}\, du.
Observação didática: a substituição funciona bem porque o diferencial de u é uma constante multiplicada por x\,dx, exatamente o que temos no integrando. Esse é o motivo de escolher u igual à expressão dentro da raiz.

Passo 3

Troca completa da integral usando a substituição. A raiz vira \sqrt{u} e x\,dx vira \frac{1}{10}\,du. Portanto a integral original transforma-se em
\int x \sqrt{5x^{2}+3}\, dx = \int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{10}\, du.
Fatorando a constante fora da integral:
\int x \sqrt{5x^{2}+3}\, dx = \frac{1}{10}\int u^{1/2}\, du.

Passo 4

Integração da potência (mini-aula): a regra básica é
\int u^{n}\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,\qquad n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra:
\int u^{1/2}\, du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C.
Substituindo isso na expressão com o fator \tfrac{1}{10}:
\frac{1}{10}\int u^{1/2}\, du = \frac{1}{10}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C.
Agora simplificamos a constante:
\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3/2} = \frac{1}{10}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.
Logo a primitiva em termos de u é
\frac{1}{15}u^{3/2} + C.

Passo 5

Volta à variável x substituindo u=5x^{2}+3. Assim a primitiva da integral original é
\frac{1}{15}\bigl(5x^{2}+3\bigr)^{3/2} + C.
Verificação rápida (cheque mental): derivando este resultado usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{15}(5x^{2}+3)^{3/2}\right] = \frac{1}{15}\cdot\frac{3}{2}(5x^{2}+3)^{1/2}\cdot 10x = x(5x^{2}+3)^{1/2},
o que coincide com o integrando. Então a resposta está correta.

Resposta

\frac{1}{15}\bigl(5x^{2}+3\bigr)^{3/2} + C

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