1. (Extremos de Funções) Determine os pontos críticos da função f(x)= x^{3}-9 x^{2}+24 x-5. Classifique cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede: determine os pontos críticos da função f(x)= x^{3}-9 x^{2}+24 x-5 e classifique cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)= x^{3}-9 x^{2}+24 x-5.
  • Precisamos encontrar todos os pontos críticos (onde f' é zero ou não existe) e dizer, para cada um, se é máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como vamos achar? \n
  • Definição prática: um ponto c é crítico se f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c. Aqui f é polinômio, então f' existe em todo lugar; logo só precisamos resolver f'(x)=0.\n
    Agora calculo a derivada primeira. Uso a regra potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-9\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+24\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-\frac{d}{dx}(5)
f'(x)=3x^{2}-18x+24.

Passo 3

Agora resolvo f'(x)=0. \n
3x^{2}-18x+24=0.
Divido a equação por 3 para simplificar:
x^{2}-6x+8=0.
Isso é uma quadrática que fatoriza (procure dois números cuja soma é -6 e produto é 8): são -2 e -4. Assim
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4).
Logo as soluções são
x=2\quad\text{e}\quad x=4.
Esses são os pontos críticos (valores de x). Para ter os pontos no plano, calculo f(2) e f(4):
f(2)=2^{3}-9\cdot2^{2}+24\cdot2-5=8-36+48-5=15,
f(4)=4^{3}-9\cdot4^{2}+24\cdot4-5=64-144+96-5=11.
Portanto os pontos críticos são (2,15) e (4,11).

Passo 4

Como classificar cada ponto? Uma forma rápida é o teste da segunda derivada.\n
Calculo a segunda derivada (derivada de f'):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-18x+24\bigr)=6x-18.
Regra do teste:
  • Se f''\text{(c)}>0 então f é côncava para cima em c → mínimo local em c.
  • Se f''\text{(c)}<0 então f é côncava para baixo em c → máximo local em c.
  • Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou ponto de inflexão).

Passo 5

Avalio f'' nos pontos críticos.\n
Para x=2:
f''(2)=6\cdot2-18=12-18=-6<0,
portanto (2,15) é um máximo local.\n
Para x=4:
f''(4)=6\cdot4-18=24-18=6>0,
portanto (4,11) é um mínimo local.

Passo 6

Verificação adicional (opcional, mas didática): análise do sinal de f' para entender o comportamento da função.\n
Nós temos
f'(x)=3(x-2)(x-4).
  • Para x<2: (x-2)<0 e (x-4)<0 → produto >0 f'>0 (função crescente antes de 2).\n
  • Para 2<x<4: (x-2)>0 e (x-4)<0 → produto <0 f'<0 (função decrescente entre 2 e 4).\n
  • Para x>4: (x-2)>0 e (x-4)>0 → produto >0 f'>0 (função crescente depois de 4).\n
    Isso confirma: em x=2 a função passa de crescente para decrescente → máximo; em x=4 passa de decrescente para crescente → mínimo.

Passo 7

Observação sobre ponto de inflexão: um ponto de inflexão é onde a concavidade muda, normalmente onde f''(x)=0 e muda de sinal. \n
Aqui f''(x)=6x-18=0 x=3. Avaliando o sinal de f'' vemos que para x<3 temos f''<0 (côncava para baixo) e para x>3 temos f''>0 (côncava para cima), então há um ponto de inflexão em x=3. Calculando f(3):
f(3)=3^{3}-9\cdot3^{2}+24\cdot3-5=27-81+72-5=13,
logo o ponto de inflexão é (3,13). Note que esse ponto não é crítico porque f'(3)\neq0 (de fato f'(3)=-3).\n
Resumo: os pontos críticos são apenas x=2 e x=4, classificados conforme acima.

Resposta

x=2: máximo local em (2,15).
x=4: mínimo local em (4,11).

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