- (Extremos de Funções) Determine os pontos críticos da função
. Classifique cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede: determine os pontos críticos da função
e classifique cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos encontrar todos os pontos críticos (onde
é zero ou não existe) e dizer, para cada um, se é máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como vamos achar? \n
- Definição prática: um ponto
é crítico se ou não existe em . Aqui é polinômio, então existe em todo lugar; logo só precisamos resolver .\n
Agora calculo a derivada primeira. Uso a regra potência: a derivada deé . Aplicando termo a termo:
Passo 3
Agora resolvo
. \n
Divido a equação por
para simplificar:
Isso é uma quadrática que fatoriza (procure dois números cuja soma é
e produto é
): são
e
. Assim
Logo as soluções são
Esses são os pontos críticos (valores de
). Para ter os pontos no plano, calculo
e
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Como classificar cada ponto? Uma forma rápida é o teste da segunda derivada.\n
Calculo a segunda derivada (derivada de ):
Calculo a segunda derivada (derivada de
Regra do teste:
- Se
então é côncava para cima em → mínimo local em . - Se
então é côncava para baixo em → máximo local em . - Se
o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou ponto de inflexão).
Passo 5
Avalio
nos pontos críticos.\n
Para :
Para
portanto
é um máximo local.\n
Para :
Para
portanto
é um mínimo local.
Passo 6
Verificação adicional (opcional, mas didática): análise do sinal de
para entender o comportamento da função.\n
Nós temos
Nós temos
- Para
: e → produto → (função crescente antes de ).\n - Para
: e → produto → (função decrescente entre e ).\n - Para
: e → produto → (função crescente depois de ).\n
Isso confirma: ema função passa de crescente para decrescente → máximo; em passa de decrescente para crescente → mínimo.
Passo 7
Observação sobre ponto de inflexão: um ponto de inflexão é onde a concavidade muda, normalmente onde
e muda de sinal. \n
Aqui dá
. Avaliando o sinal de
vemos que para
temos
(côncava para baixo) e para
temos
(côncava para cima), então há um ponto de inflexão em
. Calculando
:
Aqui
logo o ponto de inflexão é
. Note que esse ponto não é crítico porque
(de fato
).\n
Resumo: os pontos críticos são apenas e
, classificados conforme acima.
Resumo: os pontos críticos são apenas