1. (Fácil) Calcule \int\left(4 x^{3}+6 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int\left(4 x^{3}+6 x\right) dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 4 x^{3}+6 x.
  • Queremos uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=4x^{3}+6x.
  • Não há outras restrições; a resposta precisa incluir a constante de integração C.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Assim escrevemos
\int\left(4 x^{3}+6 x\right) dx = \int 4 x^{3}\,dx + \int 6 x\,dx.
Explicando essa propriedade: se temos \int (f(x)+g(x))\,dx então é igual a \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. E se há uma constante a multiplicando, \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar a regra de potência para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad \text{para } n\neq -1.
Aqui n é um número real que indica o expoente de x. Essa fórmula é a inversa da regra de derivação \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Um exemplo simples: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C porque ao derivar \frac{x^{3}}{3} volta-se a x^{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra ao primeiro termo \int 4 x^{3}\,dx. Tirando a constante 4 para fora:
\int 4 x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx.
Usando a regra de potência com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_1.
Multiplicando por 4:
4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
Portanto \int 4 x^{3}\,dx = x^{4} (a constante C_1 pode ser absorvida na constante final).

Passo 5

Agora o segundo termo \int 6 x\,dx. Tirando a constante 6:
\int 6 x\,dx = 6\int x\,dx.
Aqui x = x^{1}, então usando a regra de potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_2.
Multiplicando por 6:
6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.
Portanto \int 6 x\,dx = 3x^{2} (novamente a constante C_2 vai para a constante final).

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos e incluindo a constante de integração geral C, obtemos a antiderivada:
\int\left(4 x^{3}+6 x\right) dx = x^{4}+3x^{2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando x^{4}+3x^{2}+C usando a regra da derivada de potência \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
\frac{d}{dx}\left(x^{4}+3x^{2}+C\right) = 4x^{3} + 6x + 0 = 4x^{3}+6x,
que é exatamente a função integranda. Logo a resposta está correta.

Resposta

x^{4}+3x^{2}+C

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