(Difícil) Seja
, definida como
Mostre que
é contínua em
e descontínua em
.
Passo 1
Neste exercício a gente tem a função
dada por O objetivo é usar a definição de continuidade e as propriedades do argumento principal para mostrar que
é contínua em
e que ela falha em ser contínua em qualquer ponto de
.
Passo 2
Para pontos
com
ou
, escolhemos uma vizinhança pequena em que o sinal de
não muda. Nessa vizinhança,
é ou só (quando
) ou só (quando
), e sabemos que o argumento principal é contínuo em qualquer região que não atravesse seu corte de ramo (o eixo real negativo). Portanto, em todas essas regiões abertas
é contínua.
Passo 3
Agora consideramos um ponto
real (e não zero), isto é
e
. Temos . Aproximando
por cima (
) vem , e por baixo (
) vem . Como os dois limites coincidem com
,
é contínua no eixo real negativo.
Passo 4
Por fim, escolhemos um ponto positivo
. Aqui . Se aproximamos por cima (
) temos . Mas se aproximamos por baixo (
) a definição manda usar , e implica . Os limites laterais são diferentes (0 versus
), logo
é descontínua em cada ponto de
.
Resposta
Concluímos que
é contínua em
e descontínua em todo
.