(Difícil) Seja theta(z) in[0, infty), z neq 0, definida como
theta(z)= Arg(z), & se Im(z) >= 0 Arg(z)+2 pi, & se Im(z)<0
Mostre que theta(z) é contínua em C backslash[0, infty) e descontínua em (0, infty).

Passo 1

Neste exercício a gente tem a função theta: Csetminus0to[0,infty) dada por O objetivo é usar a definição de continuidade e as propriedades do argumento principal para mostrar que theta(z)= Arg(z),&se Im(z)>=0, Arg(z)+2pi,&se Im(z)<0 é contínua em theta e que ela falha em ser contínua em qualquer ponto de Csetminus[0,infty).

Passo 2

Para pontos z0 com Im(z0)>0 ou Im(z0)<0, escolhemos uma vizinhança pequena em que o sinal de Im(z) não muda. Nessa vizinhança, theta(z) é ou só (quando Arg(z)) ou só (quando Im>0), e sabemos que o argumento principal é contínuo em qualquer região que não atravesse seu corte de ramo (o eixo real negativo). Portanto, em todas essas regiões abertas Arg(z)+2pi é contínua.

Passo 3

Agora consideramos um ponto z0<0 real (e não zero), isto é Im(z0)=0 e Re(z0)<0. Temos . Aproximando theta(z0)=Arg(z0)=pi por cima ( z0) vem , e por baixo ( Im>0) vem . Como os dois limites coincidem com Arg(z)topi, Im<0 é contínua no eixo real negativo.

Passo 4

Por fim, escolhemos um ponto positivo x>0. Aqui . Se aproximamos por cima ( theta(x)=Arg(x)=0) temos . Mas se aproximamos por baixo ( x+iy, y>0) a definição manda usar , e implica . Os limites laterais são diferentes (0 versus Arg(x+iy)to0), logo x-iy, y>0 é descontínua em cada ponto de Arg(x-iy)+2pi.

Resposta

Concluímos que theta(z) é contínua em Csetminus[0,infty) e descontínua em todo (0,infty).

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