Sejam A, B, C, D in R e considere o conjunto de ponto (x, y) in R^2 satisfazendo
A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa w=1z preserva círculos generalizados
Rescreva a equação 1 nas variáveis u, v.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a equação generalizada de um círculo
A(x²+y²)+B x+C y+D=0 nas novas variáveis u,v definidas pelo mapa w=1/z. O conteúdo aqui é transformação por inversão no plano complexo, e vamos precisar usar que se z=x+iy e w=u+iv então u+iv=1/(x+iy) e extrair daí x e y em função de u,v.

Passo 2

Para conectar (x,y) a (u,v), escrevemos em bloco:
u+iv = 1x+iy = x-iyx^2+y^2
Dessa expressão tiramos em linha:
  • u = xx^2+y^2
  • v = -yx^2+y^2
    Também notamos que
$$
u2+v2 = \frac{1}{x2+y2}$$
e daí podemos inverter para obter em linha:
- u^2+v^2 = 1x^2+y^2
- x = uu^2+v^2.

Passo 3

Agora substituímos na equação original
A(x^2+y^2)+B x+C y+D = 0
usando:
x^2+y^2 = 1u^2+v^2,
x = uu^2+v^2,
y = -vu^2+v^2
Fica
A1u^2+v^2 + Buu^2+v^2 + Cl(-vu^2+v^2r) + D = 0
Multiplicando ambos os lados por u^2+v^2 para simplificar, chegamos em linha:

Passo 4

A + B,u - C,v + D,(u^2+v^2) = 0

Resposta

D(u2+v2) + B,u - C,v + A = 0

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