Sejam
e considere o conjunto de ponto
satisfazendo
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa
preserva círculos generalizados
Rescreva a equação 1 nas variáveis
,
.
Rescreva a equação 1 nas variáveis
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a equação generalizada de um círculo
A(x²+y²)+B x+C y+D=0 nas novas variáveis u,v definidas pelo mapa w=1/z. O conteúdo aqui é transformação por inversão no plano complexo, e vamos precisar usar que se z=x+iy e w=u+iv então u+iv=1/(x+iy) e extrair daí x e y em função de u,v.
A(x²+y²)+B x+C y+D=0 nas novas variáveis u,v definidas pelo mapa w=1/z. O conteúdo aqui é transformação por inversão no plano complexo, e vamos precisar usar que se z=x+iy e w=u+iv então u+iv=1/(x+iy) e extrair daí x e y em função de u,v.
Passo 2
Para conectar (x,y) a (u,v), escrevemos em bloco:
Dessa expressão tiramos em linha:
-
-
Também notamos que
$$
u2+v2 = \frac{1}{x2+y2}$$
e daí podemos inverter para obter em linha:
-
- .
e daí podemos inverter para obter em linha:
-
-
Passo 3
Agora substituímos na equação original
usando:
Fica
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar, chegamos em linha:
Passo 4
Resposta
D(u2+v2) + B,u - C,v + A = 0