A difração ocorre com qualquer tipo de onda, inclusive com o som. Uma onda sonora com 9 cm de comprimento de onda passa por uma fenda de 12 cm . Um microfone é colocado diretamente à frente da fenda, a uma distância de 40 cm (ponto O ). A seguir o microfone é deslocado em uma direção perpendicular à reta que liga o ponto O ao centro da fenda. Para quais distâncias em relação a O a intensidade detectada pelo microfone será zero? Resp +-45,4 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Comprimento de onda: \lambda = 9\\ \mathrm{cm}.
  • Largura da fenda: a = 12\\ \mathrm{cm}.
  • Distância do microfone ao plano da fenda, na posição central O: L = 40\\ \mathrm{cm}.
  • O microfone é deslocado numa direção perpendicular ao eixo O–centro da fenda; precisa-se saber para quais deslocamentos (distâncias em relação a O) a intensidade medida pelo microfone será zero (mínimos de intensidade).

Passo 2

Entendendo a condição para intensidade zero (mínimos) em difração por uma fenda:
  • Quando uma onda passa por uma fenda de largura a, as ondas emitidas por pontos diferentes da fenda interferem entre si no campo mais adiante. Certas direções \theta recebem interferência destrutiva total e aí a intensidade é zero.
  • A condição clássica para os mínimos de intensidade (mínimos de difração de fenda única) é
a\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda;
  • \lambda é o comprimento de onda;
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central (o eixo que liga o centro da fenda ao ponto O);
  • m é um inteiro não nulo: m=\pm1,\pm2,\ldots. O caso m=0 corresponde ao máximo central, não a mínimo.
  • Intuição curta do porquê: em direções onde a diferença de caminho entre extremidades apropriadas da fenda corresponde a múltiplos inteiros de \lambda, partes da fenda se cancelam em pares, levando a intensidade nula. A fórmula acima é a expressão padrão obtida ao somar contribuições de toda a fenda e exigir cancelamento.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
  • Primeiro calculamos a razão \dfrac{\lambda}{a}:
\frac{\lambda}{a}=\frac{9\\ \mathrm{cm}}{12\\ \mathrm{cm}}=\tfrac{9}{12}=0{,}75.
  • Para m=1 (o primeiro mínimo) a condição dá
\sin\theta = \frac{m\lambda}{a} = 0{,}75.
  • Verificamos m=2 daria \sin\theta = 1{,}5>1, impossível; logo só existem mínimos reais para m=\pm1 neste caso.
  • Calculamos o ângulo:
\theta = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}590^\circ.
(Tudo em notação matemática: \theta é positivo para o mínimo acima do eixo e negativo para o de baixo.)

Passo 4

Relacionando o ângulo \theta com o deslocamento y do microfone:
  • Geometricamente, quando o microfone está deslocado perpendicularmente ao eixo por uma distância y e a distância até a fenda ao longo do eixo é L, vale
\tan\theta = \frac{y}{L}.
  • Como já temos \sin\theta = 0{,}75, é conveniente usar a identidade
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}.
Substituindo \sin\theta=0{,}75:
\tan\theta = \frac{0{,}75}{\sqrt{1-0{,}75^2}} = \frac{0{,}75}{\sqrt{1-0{,}5625}} = \frac{0{,}75}{\sqrt{0{,}4375}}.
  • Calculando numericamente:
\sqrt{0{,}4375}\approx 0{,}6614378,\qquad \tan\theta \approx \frac{0{,}75}{0{,}6614378}\approx 1{,}133893.
  • Finalmente o deslocamento y correspondente é
y = L\tan\theta = 40\\ \mathrm{cm}\times 1{,}133893 \approx 45{,}3557\\ \mathrm{cm}.
Arredondando com a precisão pedida: y\approx 45{,}4\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Interpretação final e simetria:
  • Há um mínimo para m=+1 a y=+45{,}4\\ \mathrm{cm} (acima do eixo) e outro para m=-1 a y=-45{,}4\\ \mathrm{cm} (abaixo do eixo).
  • Não há outros mínimos físicos porque m=\pm2 daria \sin\theta>1 (impossível).

Resposta

+45{,}4\\ \mathrm{cm}
-45{,}4\\ \mathrm{cm}

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