A intensidade da radiação solar na Terra é de 1340 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2. Para essa radiação calcule os valores de Erms e Brms associados. Resp: Erms=711 V/m e Brms=2,37 \mu \mathrm{T}.

Passo 1

O enunciado dá a intensidade (irradiância) da radiação solar na Terra e pede os campos elétrico e magnético quadráticos médios (Erms e Brms). Informações dadas:
  • Intensidade: S=1340\\ \mathrm{W/m^{2}}.
O que queremos calcular:
  • E_{\mathrm{rms}} em \mathrm{V/m}.
  • B_{\mathrm{rms}} em \mathrm{T} (e em \mu\mathrm{T}).

Passo 2

Conceitos físicos básicos que usaremos (com explicação didática):
  • A potência por área transportada por uma onda eletromagnética plana no vácuo é dada pelo vetor de Poynting. Para uma onda harmônica plana a média temporal da magnitude do vetor de Poynting vale
S=\frac{1}{\mu_{0}}\,E_{\mathrm{rms}}\,B_{\mathrm{rms}}.
Explicação: \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo; E_{\mathrm{rms}} e B_{\mathrm{rms}} são os valores eficazes (rms) das oscilações das amplitudes elétrica e magnética. O fator 1/\mu_{0} vem da expressão do vetor de Poynting \mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E}\times\mathbf{B} e da média temporal de \cos^{2}.
  • Definição de RMS (valor eficaz): para uma grandeza oscilante X(t)=X_{0}\cos(\omega t), o valor eficaz é X_{\mathrm{rms}}=X_{0}/\sqrt{2}. Esse valor é o que aparece nas fórmulas de potência média.

Passo 3

Relação entre E e B no vácuo e definição da impedância característica:
  • Em uma onda plana no vácuo as amplitudes satisfazem E_{0}=c\,B_{0}. Como isso vale para amplitudes, vale também entre os valores rms:
E_{\mathrm{rms}}=c\,B_{\mathrm{rms}}.
  • Definimos a impedância do vácuo Z_{0} por
Z_{0}=\mu_{0}c.
Usando E_{\mathrm{rms}}=cB_{\mathrm{rms}} na expressão de S obtemos uma fórmula útil em termos de E_{\mathrm{rms}} apenas:
S=\frac{1}{\mu_{0}}E_{\mathrm{rms}}B_{\mathrm{rms}}=\frac{1}{\mu_{0}}E_{\mathrm{rms}}\frac{E_{\mathrm{rms}}}{c}=\frac{E_{\mathrm{rms}}^{2}}{\mu_{0}c}=\frac{E_{\mathrm{rms}}^{2}}{Z_{0}}.
Portanto
E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{S\,Z_{0}}.

Passo 4

Valores numéricos das constantes que vou usar (coloquei os valores com precisão suficiente):
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Logo
Z_{0}=\mu_{0}c\approx 4\pi\times10^{-7}\times 2{,}99792458\times10^{8}\\ \Omega \approx 376{,}73\\ \Omega.
(Usar Z_{0}\approx 376{,}73\\ \Omega é padrão; às vezes arredonda-se para 377\\ \Omega.)

Passo 5

Cálculo de E_{\mathrm{rms}}:
  • Usando \;E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{S\,Z_{0}} com S=1340\\ \mathrm{W/m^{2}} e Z_{0}\approx376{,}73\\ \Omega,
S\,Z_{0}=1340\times 376{,}73\approx 5{,}0481862\times10^{5}.
E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{5{,}0481862\times10^{5}}\\ \mathrm{V/m}\approx 710{,}5\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando de forma usual para três algarismos significativos:
E_{\mathrm{rms}}\approx 711\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Cálculo de B_{\mathrm{rms}}:
  • Usando \;B_{\mathrm{rms}}=E_{\mathrm{rms}}/c,
B_{\mathrm{rms}}=\frac{710{,}5}{2{,}99792458\times10^{8}}\\ \mathrm{T}\approx 2{,}370\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Convertendo para microtesla ( 1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T}):
B_{\mathrm{rms}}\approx 2{,}37\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (para decorar na prova): a intensidade média de uma onda plana no vácuo satisfaz S=E_{\mathrm{rms}}^{2}/Z_{0}. Portanto E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{S Z_{0}} e B_{\mathrm{rms}}=E_{\mathrm{rms}}/c. Use Z_{0}\approx376{,}73\\ \Omega e c\approx2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

E_{\mathrm{rms}}=711\\ \mathrm{V/m}
B_{\mathrm{rms}}=2{,}37\\ \mu\mathrm{T}

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