Diga se as afirmações estão corretas ou falsas e comente suas respostas.
A energia interna de um gás depende da massa das partículas constituintes desse gás.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmação a seguir é correta ou falsa e que comente a resposta. A afirmação é:
“A energia interna de um gás depende da massa das partículas constituintes desse gás.”
Não há outros dados numéricos; a tarefa é avaliar a verdade da afirmação e justificar com explicações físicas.

Passo 2

Definição do que é energia interna — aula rápida e direta. A energia interna U de um sistema é a soma de todas as energias associadas às partículas que compõem o sistema, incluindo:
  • energia cinética microscópica (movimento de translação, rotação, vibração, etc.);
  • energia potencial interna (energia de interação entre partículas, ligações químicas, etc.).
Ou seja, U é a energia total em nível microscópico que está “dentro” do corpo. Em termodinâmica, quando falamos de um gás, fazemos distinção entre contribuições (tradução, rotação, vibração, potenciais).

Passo 3

Caso simples e muito usado em provas: gás ideal clássico monoatômico. Pelo teorema da equipartição de energia, cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por partícula à energia média, onde:
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta.
Para um gás ideal com f graus de liberdade por partícula e N partículas, a energia interna é
U=\frac{f}{2}\,N k_B T.
Também se escreve por mole:
U=\frac{f}{2}\,n R T,
onde n é o número de mols e R é a constante dos gases ideais. Aqui as variáveis significam:
  • U: energia interna total;
  • f: número de graus de liberdade por partícula (ex.: f=3 para gás monoatômico clássico em 3D);
  • N: número de partículas;
  • n: número de mols;
  • k_B: constante de Boltzmann;
  • R: constante dos gases ( R=N_A k_B);
  • T: temperatura absoluta.
Repare: nessa expressão não aparece a massa da partícula. Portanto, para um gás ideal clássico a energia interna, a temperatura e o número de partículas determinam U; a massa das partículas não entra explicitamente.

Passo 4

Interpretação física na forma de energias cinéticas:
A energia cinética média por partícula translacional em 3D é
\left\langle E_{\text{cin}}\right\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T.
Relacionando com velocidade:
\left\langle E_{\text{cin}}\right\rangle=\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle,
logo
\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T.
Deste último ponto vem uma coisa importante: para a mesma temperatura T, partículas mais pesadas têm menor velocidade quadrática média \langle v^2\rangle, mas a energia média por partícula continua \tfrac{3}{2}k_B T. Ou seja, massa muda as velocidades típicas, não a energia média por partícula (no regime clássico ideal). Então dois gases monoatômicos diferentes (por exemplo, hélio e néon) com o mesmo N e o mesmo T têm a mesma U.

Passo 5

Agora as exceções importantes — por que a afirmação é enganosa se tomada como universal. Há situações em que a energia interna efetivamente depende da massa das partículas:
  1. Modos internos quânticos (vibração/rotação): para moléculas diatômicas ou poliatômicas, contribuições vibracionais e rotacionais dependem das frequências naturais, e essas frequências geralmente dependem da massa reduzida \mu do par de átomos. Por exemplo, para um modo vibracional simples modelado como oscilador harmônico,
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{mol}}}{\mu}},
onde k_{\text{mol}} é uma constante de força da ligação e \mu depende das massas. Os níveis de energia quânticos são E_n=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right), então a contribuição vibracional para U depende de \omega e, portanto, da massa. Um exemplo prático: \mathrm{H_2} e \mathrm{D_2} (hidrogênio e deutério) têm diferentes frequências vibracionais e, nas mesmas condições térmicas, apresentam diferenças na energia interna por molécula.
  1. Regime quântico degenerado: em gases quânticos (Bose ou Fermi), massas diferentes mudam o comprimento térmico de de Broglie
\lambda_{\text{th}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}},
o que altera propriedades termodinâmicas como energia por partícula em regimes de baixa temperatura ou alta densidade. Assim, massa entra nas previsões.
  1. Interações e ligações químicas: em gases reais com forças intermoleculares, a energia potencial interna (associada a forças, associação, dissociação) pode depender de tipos de átomos (portanto de massa indiretamente, via estrutura molecular), afetando U.
Conclusão desta parte: a massa pode influenciar U quando contribuições internas sensíveis à estrutura quântica ou interações entram em cena; mas não influencia no caso clássico ideal puramente translacional.

Passo 6

Resumo para prova (o que escrever se aparecer essa afirmação num teste):
  • Diga direto: “Falsa, com ressalvas.”
  • Motive: para um gás ideal clássico (ou seja, quando só a energia de translação importa e o sistema é clássico), a energia interna depende somente de N (ou n), T e dos graus de liberdade f: U=\tfrac{f}{2}N k_B T. A massa m não aparece.
  • Acrescente a ressalva: em situações onde há modos vibracionais/quânticos relevantes, ou efeitos de degenerescência quântica, ou energia potencial de interação, a massa das partículas pode sim afetar a energia interna. Dê um exemplo curto: \mathrm{H_2} vs \mathrm{D_2} têm U diferentes a certa temperatura porque mudam os níveis vibracionais.

Passo 7

Pequeno conselho motivacional: se cair na prova, escreva a resposta direta (“Falsa”) e explique a distinção entre gás ideal clássico (independência da massa) e casos reais/quânticos (dependência possível). Isso ganha pontos porque mostra entendimento do porquê, não só resposta curta.

Resposta

Falsa.

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